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Analisi a più variabili · Divergenza

Divergenza

La divergenza di un campo vettoriale in un punto è il flusso netto uscente per unità di area da una piccola regione attorno a esso, div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Restringi un cerchio sul punto e osserva flusso ÷ area stabilizzarsi.

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La divergenza in questa visualizzazione

La divergenza di un campo vettoriale piano F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) è lo scalare div⁡F=∇⋅F=∂P/∂x+∂Q/∂y\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y, definito dove F è di classe C¹. Misura il flusso netto uscente per unità di area — talvolta chiamato densità delle sorgenti. Lungo un piccolo cerchio di raggio r attorno a p, somma la componente normale uscente F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n sul bordo (il flusso Φ) e dividi per l’area:

La divergenza come limite
div⁡F(p)=lim⁡r→01πr2∮F⋅n ds\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

Le tacche sul bordo sono F·n: piene verso l’esterno, vuote verso l’interno, con una scala per cerchio. Per un campo regolare il rapporto differisce dalla divergenza di un multiplo di r², quindi ogni dimezzamento di r divide lo scarto circa per quattro; in un campo lineare è uguale alla divergenza per ogni cerchio. La forma non conta: un quadrato attorno a p dà lo stesso limite. Una goccia d’inchiostro ne rende visibile il significato — una piccola regione di fluido trasportata dal flusso cresce in area al tasso relativo div F; una regione di dimensioni finite, seguita per un tempo finito, ne misura una media.

Dividi una regione in celle e somma i loro flussi uscenti: attraverso ogni bordo interno, l’uscita da una cella è l’entrata nella vicina, quindi resta solo il bordo esterno. Facendo restringere le celle, la somma diventa il teorema della divergenza (la forma di flusso del teorema di Green): ∮∂DF⋅n ds=∬Ddiv⁡F dA\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA, per una regione limitata con bordo regolare a tratti in cui F è di classe C¹. In tre dimensioni lo stesso enunciato è il teorema di Gauss, con superfici e volumi.

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Cosa osservare

  • La divergenza non riguarda il verso delle frecce. La sorgente puntiforme (x,y)/(x2+y2)(x, y)/(x^2 + y^2) punta ovunque verso l’esterno, ma ha divergenza 0 fuori dall’origine; ogni cerchio attorno all’origine lascia uscire 2π, perché tutta la sorgente è nell’origine, dove il campo non è definito (nel senso delle distribuzioni, la sua divergenza lì è 2π per una delta). Il campo (x2,0)(x^2, 0) punta ovunque a destra, ma ha sorgenti dove accelera e pozzi dove rallenta.
  • Un flusso veloce non è divergenza: la sella (x,−y)(x, -y) schiaccia una goccia ma ne conserva l’area. Il modo in cui il flusso gira lungo il bordo, F·T, è invece la domanda del rotore (E26).
  • La divergenza viene dalla derivata simbolica della formula; si scrive con «=» solo quando il suo valore esatto è razionale. Il flusso è un integrale numerico, mostrato solo con le cifre garantite dalla stima dell’errore. Per un campo digitato, la pagina confronta il flusso con ∬ div F dA e segnala quando non coincidono: potrebbe esserci un punto singolare nella regione o vicino a essa.
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Comandi

  • Trascina P oppure il bordo e il punto r; P si aggancia al reticolo delle frecce, r alle potenze di 2. r → 0 dimezza r sei volte e raccoglie ogni livello nella finestra facoltativa Registro di avvicinamento; una forma piccola apre la lente. Scegli Quadrato per usare r come semilato, poi Griglia per scegliere la griglia.
  • Deformazione anima il cerchio o quadrato attuale fino a t = ¼. Premi durante l’animazione per metterla in pausa, oppure al termine per ripeterla; la forma finale resta visibile. L’area e il tasso di crescita sono medie sulla regione e sul tempo. Forma di riferimento conserva posizione, dimensione e forma mentre sposti il rilevatore o ne cambi la forma. Cambiare campo la elimina; premi di nuovo il tasto per rimuoverla.
  • Modalità presentazione apre una vista a schermo intero: Spazio avvia r → 0, ← e → raddoppiano o dimezzano r, H nasconde la divergenza. Condividi copia un link al campo, al rilevatore e alla vista.
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Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Divergence (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Inglese); Wikipedia: Divergence theorem (Inglese).