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Cálculo de varias variables · Divergencia

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial en un punto es la salida neta por unidad de área de una región diminuta a su alrededor, div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Reduce una circunferencia hacia el punto y observa cómo se estabiliza flujo ÷ área.

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La divergencia en esta visualización

La divergencia de un campo vectorial plano F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) es el escalar div⁡F=∇⋅F=∂P/∂x+∂Q/∂y\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y, definido donde F es continuamente diferenciable. Mide la salida neta por unidad de área, a veces llamada densidad de fuentes. Alrededor de una circunferencia pequeña de radio r centrada en p, suma la componente normal saliente F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n a lo largo del borde (el flujo Φ) y divide entre el área:

La divergencia como límite
div⁡F(p)=lim⁡r→01πr2∮F⋅n ds\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

Las marcas del borde representan F·n: rellenas hacia fuera, huecas hacia dentro, una escala por circunferencia. Para un campo suave, el cociente difiere de la divergencia en un múltiplo de r², así que cada reducción de r a la mitad divide la diferencia aproximadamente entre cuatro; en un campo lineal coincide con la divergencia para cualquier circunferencia. La forma no importa: un cuadrado alrededor de p da el mismo límite. Una gota de tinta hace visible el significado: una pequeña porción de fluido transportada por el flujo crece en área a la tasa relativa div F; una porción de tamaño finito, seguida durante un tiempo finito, mide un promedio de ella.

Divide una región en celdas y suma sus salidas: en cada borde interior, la salida de una celda es la entrada de su vecina, así que solo queda el contorno. Al reducir las celdas, la suma se convierte en el teorema de la divergencia (la forma de flujo del teorema de Green): ∮∂DF⋅n ds=∬Ddiv⁡F dA\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA, para una región acotada de contorno suave a trozos en la que F sea continuamente diferenciable. En tres dimensiones, el mismo resultado es el teorema de Gauss, con superficies y volúmenes.

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En qué fijarse

  • La divergencia no trata de hacia dónde apuntan las flechas. La fuente puntual (x,y)/(x2+y2)(x, y)/(x^2 + y^2) apunta hacia fuera en todas partes, pero tiene divergencia 0 fuera del origen; toda circunferencia que rodea el origen deja salir 2π porque toda la fuente está en el origen, donde el campo no está definido (en el sentido de las distribuciones, su divergencia allí es 2π por una delta). El campo (x2,0)(x^2, 0) apunta a la derecha en todas partes, pero tiene fuentes donde se acelera y sumideros donde se frena.
  • Un flujo rápido no implica divergencia: el campo de silla (x,−y)(x, -y) aplana una gota, pero conserva su área. Cómo gira el flujo a lo largo del borde, F·T, es la cuestión del rotacional (E26).
  • La divergencia procede de la derivada simbólica de la fórmula; solo se escribe con «=» cuando su valor exacto es racional. El flujo es una integral numérica, mostrada solo con los dígitos respaldados por su estimación de error. Para un campo escrito, la página compara el flujo con ∬ div F dA y avisa si no coinciden: puede haber un punto singular dentro de la región o cerca de ella.
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Controles

  • Arrastra P, o el contorno y su asa r; P se ajusta a la retícula de flechas y r a potencias de 2. r → 0 divide r entre dos seis veces y guarda cada nivel en la ventana opcional Registro de aproximación; una forma pequeña abre la lupa. Elige Cuadrado para usar r como semilado; después usa Cuadrícula para elegir la retícula.
  • Deformación anima la circunferencia o el cuadrado actual hasta t = ¼. Pulsa durante la reproducción para pausar o al terminar para repetir; la forma final permanece visible. El área y la tasa de crecimiento son promedios sobre la región y el tiempo. Forma de referencia mantiene su posición, tamaño y forma mientras mueves el detector o cambias su forma. Cambiar el campo la elimina; pulsa de nuevo la tecla para quitarla.
  • Modo presentación abre una vista a pantalla completa: Espacio ejecuta r → 0, ← y → duplican o dividen r entre dos, y H oculta la divergencia. Compartir copia un enlace al campo, al detector y a la vista.
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Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Divergence (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Inglés); Wikipedia: Divergence theorem (Inglés).