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Analyse à plusieurs variables · Rotationnel

Rotationnel

Le rotationnel d’un champ de vecteurs plan, ∂Q/∂x − ∂P/∂y, vaut deux fois la vitesse angulaire d’une petite roue à aubes idéale placée dans le courant. Placez une roue dans un courant rectiligne et regardez-la tourner ; laissez-la dériver autour d’un vortex et observez qu’elle ne tourne pas du tout sur elle-même.

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Le rotationnel dans cette visualisation

Le rotationnel d’un champ de vecteurs plan F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) est le nombre ci-dessous, aussi appelé rotationnel scalaire ; c’est la troisième composante du vecteur tridimensionnel ∇×F\nabla\times\mathbf F. Il représente la densité de circulation : la circulation dans le sens antihoraire autour d’une petite boucle entourant un point, divisée par l’aire délimitée, lorsque la boucle se resserre vers ce point. Ces deux définitions s’appliquent là où F est continûment dérivable.

Le rotationnel comme dérivée et comme limite
curl⁡F=∂Q∂x−∂P∂y=lim⁡r→01πr2∮F⋅T ds\operatorname{curl}\mathbf F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

Les traits jaunes représentent la composante du courant tangente au contour, F·T ; leur intégrale Γ est la circulation sur le contour, et Γ/(2πr²) sa vitesse angulaire moyenne. Elle tend vers la moitié du rotationnel lorsque r → 0, et lui est égale pour tout r lorsque le rotationnel est une fonction linéaire. La roue elle-même est la petite roue idéale d’un écoulement régulier : elle tourne à ω=12curl⁡F(P)\omega = \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F(P), la moyenne des vitesses de rotation instantanées de deux éléments de ligne perpendiculaires passant par P — l’horizontal à ∂Q/∂x, le vertical à −∂P/∂y (la croix). Chacun pris séparément ne tourne pas nécessairement à ω : dans l’écoulement de cisaillement (y, 0), le vertical tourne à −1 et l’horizontal ne tourne pas.

Dérive laisse la roue suivre le courant. À chaque point traversé, elle tourne à la moitié du rotationnel local ; sa rotation cumulée le long du trajet vaut donc θ=∫12curl⁡F dt\theta = \int \tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F\,dt. Une marque toutes les demi-unités de temps enregistre son orientation. Dans le vortex (−y, x)/(x² + y²), le rotationnel est nul partout sauf à l’origine, où F n’est pas défini. Une roue faisant le tour de l’origine revient avec θ = 0 : la courbure du courant tendrait à la faire tourner dans le sens antihoraire, et l’eau plus rapide du côté intérieur dans le sens horaire ; les deux effets s’annulent.

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À observer

  • Le théorème de Green, sous sa forme de circulation, affirme que ∮∂DF⋅T ds\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds le long de la frontière d’une région D parcourue dans le sens antihoraire est égal à ∬Dcurl⁡F dA\iint_D \operatorname{curl}\mathbf F\,dA, lorsque F est continûment dérivable sur un ouvert contenant D. Dans la boucle, la circulation le long d’une arête intérieure commune contribue une fois à chacune des deux cellules, avec des orientations opposées : les circulations des cellules s’additionnent donc pour donner celle du bord extérieur, et chacune vaut approximativement le rotationnel multiplié par l’aire. La boucle additionne le rotationnel au centre de chaque cellule multiplié par son aire : une somme des points milieux, exacte pour un rotationnel linéaire et qui, sinon, tend vers Γ lorsque les cellules rétrécissent.
  • Des lignes de courant droites peuvent avoir un rotationnel non nul (cisaillement, canal), et des lignes circulaires un rotationnel nul (vortex). Une boucle autour du centre du vortex a une circulation de 2π alors que le rotationnel est nul partout ailleurs à l’intérieur : le théorème ne s’applique pas, car F n’est pas défini au centre (l’escalier en colimaçon de la page sur l’intégrale curviligne). Les traits n’indiquent que la composante tangente au contour ; la composante qui le traverse relève de la divergence. En trois dimensions, le rotationnel est un vecteur et le théorème devient celui de Stokes.
  • Le rotationnel est obtenu par dérivation symbolique, et « = » indique une valeur exacte. La circulation a une expression explicite pour les préréglages ; pour les champs saisis, elle est calculée par intégration numérique avec une estimation de l’erreur. La dérive a une expression explicite pour les préréglages, sauf le champ cubique ; sinon, elle est intégrée numériquement. Les marques sont des échantillons espacés d’une demi-unité de temps : une roue qui fait un tour complet entre deux marques semble immobile sur celles-ci, tandis que θ compte tous les tours. Les particules d’arrière-plan indiquent seulement le sens de l’écoulement ; leur concentration ne représente aucune grandeur.
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Commandes

  • Faites glisser le centre P de la roue (il s’accroche à la grille des flèches) ou son contour (il s’accroche à ½, 1, 2 …), ou saisissez leurs valeurs : les coordonnées de P vont de −100 à 100, r de 0.001 à 100. Faites glisser ailleurs pour déplacer la vue ; utilisez les boutons de vue pour zoomer. Choisissez Roue ou Boucle carrée pour observer le champ. La boucle a un demi-côté r et un nombre de cellules réglable. Dérive démarre, met en pause ou reprend le même parcours en mode Roue. La roue continue de se déplacer hors de la figure. Après une pause, déplacer son centre définit un nouveau point de départ et la laisse immobile jusqu’à un nouvel appui sur Dérive. Revenir au départ rétablit la position et l’orientation de départ et efface la durée, la rotation cumulée et la trace du parcours. Saisissez P et Q avec + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
  • Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection : Espace fait dériver la roue ou la met en pause, ← et → doublent ou divisent par deux la taille du contour, H masque la façon dont la roue tourne. Partager copie un lien qui rétablit le champ, la roue et la vue.
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Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Curl (mathematics) (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Anglais); Wikipédia: Green's theorem (Anglais).