Lotka–Volterra denklemleri

Burada $x$ av sayısını, $y$ avcı sayısını gösterir; ikisi de bin birimindedir. Her biri birey başına bir oranla değişir: av $\alpha$ oranında çoğalır ve avcı sayısıyla orantılı bir oranda yenir; avcılar $\gamma$ oranında ölür ve av sayısıyla orantılı bir oranda çoğalır. Faz düzlemi $(x, y)$ noktasını seçtiğiniz başlangıçtan itibaren izler; alttaki zaman grafiği her iki sayıyı yıllar boyunca çizer.

Avın değişim oranı $\alpha - \beta y$, $y = \alpha/\beta$ doğrusu üzerinde; avcının değişim oranı $\delta x - \gamma$ ise $x = \gamma/\delta$ doğrusu üzerinde sıfırdır. Bu kesikli sıfır büyüme çizgileri denge noktası $(x^*, y^*) = (\gamma/\delta, \alpha/\beta)$ üzerinde kesişir ve düzlemi dört bölgeye ayırır. $y^*$ seviyesinin altında av artar, üstünde azalır. $x^*$ konumunun sağında avcılar artar, solunda azalır. Bu nedenle yörünge saat yönünün tersine döner. Avcılar, artışları durduğunda tepeye ulaşır; o anda av sayısı, kendi tepesini geçtikten sonra yeniden $x^*$ değerine düşmüştür. Okumada gösterilen gecikme bu zaman farkıdır.

Dönmek tek başına yörüngeyi başlangıca getirmez; spiral de döner. Yörüngeyi kapatan, her çözüm boyunca sabit kalan bir niceliktir: $$\begin{aligned} V &= \delta x - \gamma \ln x + \beta y - \alpha \ln y, \\ V' &= (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0. \end{aligned}$$ Minimumun üzerindeki her $V$ seviyesi, denge noktasını çevreleyen kapalı bir eğridir. Yörünge onu izleyerek başlangıca döner ve kendini tekrarlar. Üst sınır $K$ eklendiğinde kalabalıklaşma avın büyümesini yavaşlatır ve $V$ artık sabit kalmaz. Üst sınır örneğinde yörünge kapanmak yerine denge noktasına doğru spiral çizer.

Salınımlar ne kadar büyük olursa olsun, her tam döngünün ortalaması tam olarak denge noktasıdır. Avcı denklemini $y$ ile bölmek $(\ln y)' = \delta x - \gamma$ sonucunu verir. Bir döngüde $y$ başlangıç değerine döner; dolayısıyla integral 0 olur ve $x$ ortalaması $\gamma/\delta = x^*$ değeridir. Av denklemi de aynı şekilde $y$ ortalamasını, yani $\alpha/\beta = y^*$ değerini verir. Daha büyük salınımlar uç değerleri ve periyodu değiştirir, ortalamaları değil.

Her iki popülasyona birey başına aynı $\varepsilon$ oranıyla sürekli balıkçılık uygulamak, $\alpha$ yerine $\alpha - \varepsilon$ ve $\gamma$ yerine $\gamma + \varepsilon$ gelmesine yol açar. Üst sınır yokken denge noktası $x^* = (\gamma + \varepsilon)/\delta$, $y^* = (\alpha - \varepsilon)/\beta$ konumuna taşınır: ortalamada daha çok av, daha az avcı. Avın ortalaması, avcının kazanç ve kayıplarının tam dengelendiği sayıdır. Balıkçılık avcıların ölümünü hızlandırınca bu sayı yükselir.