Faz portresi

Bir faz portresi, diferansiyel denklem sisteminin çözümlerini değişkenler düzleminde eğriler olarak gösterir; her başlangıç noktasından bir eğri geçer. Bu sayfada, $2 \times 2$ boyutlu $A$ matrisi için $x' = Ax$ doğrusal sistemi gösteriliyor. İz–determinant haritasındaki $(\tau, \Delta)$ noktasını hareket ettirmek görüntüyü eyer, düğüm, spiral ve merkez türleri arasında değiştirir. Yanındaki özdeğer düzlemi, her görüntüyü belirleyen iki özdeğeri gösterir.

Her eğri yön alanını izler. Okların boyları aynıdır ve yalnızca yönü gösterirler. Hız, eşit zaman aralıklı işaretlerden anlaşılır: hareketin yavaş olduğu yerlerde işaretler sıklaşır. Bazı çözümler orijinden geçen bir doğru üzerinde ilerler. $Av = \lambda v$ ise $x(t) = e^{\lambda t} v$ bir çözümdür; çünkü türevi $\lambda e^{\lambda t} v$, bu çözüme $A$ matrisi uygulandığında elde edilen ifadenin aynısıdır. Dolayısıyla bu doğrular $A$ matrisinin özvektör yönleridir ve her yöndeki değişim oranı $\lambda$ ile verilir: $\lambda > 0$ olduğunda dışarıya, $\lambda < 0$ olduğunda içeriye hareket vardır; $\lambda = 0$ olduğunda ise hareket yoktur.

Özdeğerler $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$ denklemini sağlar. Dolayısıyla toplamları $\tau$, çarpımları $\Delta$, diskriminant ise $\tau^2 - 4\Delta$ olur. Haritadaki her sınır, özdeğer düzlemindeki bir olaya karşılık gelir. $\Delta = 0$ doğrusunun altında özdeğerler zıt işaretlidir ve görüntü bir eyerdir. Bu doğru üzerinde özdeğerlerden biri 0 olur ve bir doğrunun tüm noktaları durağan kalır. $\tau^2 = 4\Delta$ parabolü üzerinde iki özdeğer buluşur; parabolün üstünde ise karmaşık bir çift oluştururlar. $\Delta > 0$ iken $\tau$ değerinin işareti sönmeyi büyümeden ayırır; $\tau = 0$ üzerinde çift sanal eksendedir. Böylece $\tau$ ve $\Delta$, özdeğerleri ve görüntünün türünü belirler. Tek istisna katlı özdeğerlerdir: bu durumda tür, $A$ matrisinin birim matrisin katı olup olmamasına da bağlıdır.

Karmaşık özdeğerler $\alpha \pm \beta i$ ve $\beta > 0$ olduğunda, sıfır çözümü dışındaki her çözüm $2\pi/\beta$ sürede orijinin çevresinde bir tur atar ve bu sürede $e^{2\pi\alpha/\beta}$ çarpanıyla ölçeklenir. Bu yüzden bir tur arayla konan işaretler orijinden çıkan aynı ışın üzerinde yer alır; aralarındaki ölçek çarpanı hep aynıdır. $\alpha = 0$ olduğunda çarpan 1 olur ve sıfır çözümü dışındaki her yörünge kapalı bir elips oluşturur: bir merkez. $\Delta = 1$ ve $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$ için sistem, $\zeta = -\tau/2$ olmak üzere $x'' + 2\zeta x' + x = 0$ sönümlü osilatörüdür.

Parabol geçilirken iki doğru makas gibi kapanıp tek bir doğruya dönüşür, sonra görüntü spirale dönerken kaybolur. Tepe noktası dışında, parabol üzerindeki tipik bir matrisin yalnızca bu tek doğrusu vardır. Diğer tüm çözümler orijine girerken veya orijinden çıkarken ona teğettir. $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$ noktasında $-I$ matrisi aynı özdeğerlere sahiptir, ama her yönde bir doğru vardır. $A \mapsto PAP^{-1}$ baz değişimi görüntünün biçimini değiştirir; $\tau$, $\Delta$, özdeğerler ve tür aynı kalır. Birim matrisin katı ise değişmez.