Retrato de fase

Un retrato de fase dibuja las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales como curvas en el plano de sus variables, una por cada punto inicial. Esta página muestra el sistema lineal $x' = Ax$ para una matriz $A$ de tamaño $2 \times 2$. Al mover el punto $(\tau, \Delta)$ en el diagrama traza–determinante, el retrato pasa por sillas, nodos, focos y centros. El plano de valores propios de al lado muestra los dos valores propios que hay detrás de cada retrato.

Cada curva sigue el campo de direcciones. Todas sus flechas tienen la misma longitud y solo indican la dirección; la rapidez se ve en las marcas a intervalos de tiempo iguales, que se agrupan donde el movimiento es lento. Algunas soluciones recorren una recta por el origen. Si $Av = \lambda v$, entonces $x(t) = e^{\lambda t} v$ es una solución porque su derivada $\lambda e^{\lambda t} v$ es exactamente el resultado de aplicarle $A$. Por tanto, las rectas son las direcciones propias de $A$, y $\lambda$ es la tasa de crecimiento en cada una: el movimiento va hacia fuera cuando $\lambda > 0$, hacia dentro cuando $\lambda < 0$ y se queda inmóvil cuando $\lambda = 0$.

Los valores propios resuelven $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$, así que $\tau$ es su suma, $\Delta$ su producto y $\tau^2 - 4\Delta$ el discriminante. Cada frontera del diagrama corresponde a un suceso en el plano de valores propios. Por debajo de $\Delta = 0$, los valores propios tienen signos opuestos y el retrato es una silla; sobre esa línea, uno vale 0 y toda una recta de puntos queda en reposo. Sobre la parábola $\tau^2 = 4\Delta$, los valores propios coinciden; por encima, forman un par complejo conjugado. Con $\Delta > 0$, el signo de $\tau$ separa el decaimiento del crecimiento, y sobre $\tau = 0$ el par está en el eje imaginario. Así, $\tau$ y $\Delta$ fijan los valores propios y el tipo de retrato, salvo cuando hay un valor propio repetido: entonces también importa si $A$ es un múltiplo de la identidad.

Para valores propios complejos $\alpha \pm \beta i$ con $\beta > 0$, toda solución no nula da una vuelta al origen en un tiempo $2\pi/\beta$ y durante ese tiempo cambia de escala por un factor $e^{2\pi\alpha/\beta}$. Por eso, las marcas separadas por una vuelta están en la misma semirrecta desde el origen, cada vez con el mismo factor. Cuando $\alpha = 0$, el factor es 1 y toda órbita no nula se cierra formando una elipse: un centro. Con $\Delta = 1$ y $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$, el sistema es el oscilador amortiguado $x'' + 2\zeta x' + x = 0$, con $\zeta = -\tau/2$.

Al cruzar la parábola, las dos rectas se cierran como tijeras hasta formar una sola y después desaparecen al volverse espiral el retrato. Fuera del vértice, una matriz típica de la parábola tiene solo esa recta, y toda otra solución entra o sale del origen tangente a ella. En $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$, la matriz $-I$ tiene los mismos valores propios, pero cada dirección da una recta. El cambio de base $A \mapsto PAP^{-1}$ deforma el retrato, pero conserva $\tau$, $\Delta$, los valores propios y el tipo. Un múltiplo de la identidad permanece igual.