Portrait de phase

Un portrait de phase dessine les solutions d’un système d’équations différentielles comme des courbes dans le plan de ses variables, une par point de départ. Cette page montre le système linéaire $x' = Ax$ pour une matrice $A$ de taille $2 \times 2$. Déplacer le point $(\tau, \Delta)$ dans le diagramme trace–déterminant fait passer le portrait par des selles, nœuds, foyers et centres. Le plan des valeurs propres, à côté, montre les deux valeurs propres derrière chaque portrait.

Chaque courbe suit le champ de directions. Toutes les flèches ont la même longueur et n’indiquent que la direction ; la vitesse se lit dans les repères à intervalles de temps égaux, plus serrés là où le mouvement est lent. Certaines solutions suivent une droite passant par l’origine. Si $Av = \lambda v$, alors $x(t) = e^{\lambda t} v$ est une solution, car sa dérivée $\lambda e^{\lambda t} v$ est exactement le résultat de l’application de $A$ à cette solution. Les droites sont donc les directions propres de $A$, et $\lambda$ donne le taux de croissance dans chacune : le mouvement va vers l’extérieur si $\lambda > 0$, vers l’intérieur si $\lambda < 0$, et s’arrête si $\lambda = 0$.

Les valeurs propres résolvent $\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$ : $\tau$ est donc leur somme, $\Delta$ leur produit et $\tau^2 - 4\Delta$ le discriminant. Chaque frontière du diagramme correspond à un événement dans le plan des valeurs propres. En dessous de $\Delta = 0$, les valeurs propres sont de signes opposés et le portrait est une selle ; sur cette ligne, l’une vaut 0 et toute une droite de points reste au repos. Sur la parabole $\tau^2 = 4\Delta$, les deux valeurs propres se rejoignent ; au-dessus, elles forment une paire complexe conjuguée. Pour $\Delta > 0$, le signe de $\tau$ sépare décroissance et croissance, et sur $\tau = 0$ la paire se trouve sur l’axe imaginaire. Ainsi, $\tau$ et $\Delta$ fixent les valeurs propres et le type de portrait, sauf en cas de valeur propre double, où le type dépend aussi du fait que $A$ soit ou non un multiple de l’identité.

Pour des valeurs propres complexes $\alpha \pm \beta i$ avec $\beta > 0$, chaque solution non nulle fait un tour autour de l’origine en un temps $2\pi/\beta$ et subit durant ce temps une homothétie de rapport $e^{2\pi\alpha/\beta}$. C’est pourquoi les repères séparés d’un tour sont sur une même demi-droite issue de l’origine, avec le même facteur d’échelle à chaque fois. Lorsque $\alpha = 0$, ce facteur vaut 1 et chaque orbite non nulle se ferme en ellipse : c’est un centre. Avec $\Delta = 1$ et $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$, le système est l’oscillateur amorti $x'' + 2\zeta x' + x = 0$, où $\zeta = -\tau/2$.

En traversant la parabole, les deux droites se referment comme des ciseaux pour n’en former qu’une, puis disparaissent lorsque le portrait devient spiralé. Hors du sommet, une matrice typique sur la parabole ne possède que cette droite, et toute autre solution entre dans l’origine ou en sort en lui étant tangente. En $(\tau, \Delta) = (-2, 1)$, la matrice $-I$ a les mêmes valeurs propres, mais chaque direction donne une droite. Le changement de base $A \mapsto PAP^{-1}$ déforme le portrait tout en conservant $\tau$, $\Delta$, les valeurs propres et le type. Un multiple de l’identité reste inchangé.