Résonance

La résonance est la grande oscillation d’un système soumis à une force périodique dont la fréquence est proche de sa fréquence propre. Ici, une masse est suspendue à un ressort, un amortisseur la freine et une force $F_0\cos\omega t$ l’entraîne. La page enregistre l’oscillation cycle par cycle, montre quand la force fournit de l’énergie et compare le résultat à la réponse permanente pour chaque fréquence d’excitation.

La fréquence d’excitation est $r = \omega/\omega_0$, le déplacement s’exprime en unités de déflexion statique $x_{\mathrm{st}} = F_0/k$, et le temps en périodes propres $T_0$. Avec amortissement, le mouvement depuis le repos est la somme d’une oscillation permanente à la fréquence d’excitation et d’une réponse libre qui s’éteint. Les points jaunes marquent le maximum de $|x|$ à chaque cycle d’excitation. Ils tendent vers l’amplitude permanente à mesure que la partie libre s’atténue, parfois en montant et descendant en chemin.

La bande sous l’enregistrement représente la puissance $P = F v$. La force fournit de l’énergie lorsqu’elle agit dans le sens du mouvement de la masse. Dans l’oscillation permanente amortie à $r = 1$, la masse a exactement un quart de cycle de retard sur la force : celle-ci est donc en phase avec la vitesse et fournit toujours de l’énergie. Dans une oscillation permanente loin de $r = 1$, la force s’oppose au mouvement pendant une partie de chaque cycle, indiquée par des hachures. Très loin de $r = 1$, cette partie tend vers la moitié du cycle, et les travaux positif et négatif se compensent presque.

Pourquoi l’oscillation cesse-t-elle de croître ? Prenez une oscillation sinusoïdale d’amplitude $A$ en retard d’un quart de cycle sur la force, comme le régime permanent à $r = 1$. En un cycle, la force fournit $\pi F_0 A$, et l’amortisseur de coefficient $c$ dissipe $\pi c\omega A^2$. L’apport croît avec $A$ et la perte avec $A^2$ : ils s’équilibrent donc à une seule amplitude, $A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$. Pendant la croissance, le bilan énergétique indique l’apport réel, la perte et la variation de l’énergie stockée pour chaque cycle.

Moins d’amortissement donne un pic plus haut et plus étroit. Pour $\zeta > 0$, la puissance moyenne fournie reste au moins égale à la moitié de son maximum sur une bande de fréquences d’excitation de largeur exactement $2\zeta$ : la largeur à mi-puissance marquée sur le graphique. Le déplacement atteint son maximum en dessous de $r = 1$, à $r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$, à condition que $0 < 2\zeta^2 < 1$.

Avec un faible amortissement, la partie libre oscille à sa propre fréquence, $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$. Quand celle-ci est proche de la fréquence d’excitation sans lui être égale, les deux oscillations se synchronisent puis se décalent : l’enregistrement monte et descend en battements. Ceux-ci s’atténuent à mesure que l’amortissement élimine la partie libre. Sans amortissement, rien ne l’élimine et le mouvement ne se stabilise jamais. Pour $r \ne 1$, la courbe donne alors l’amplitude d’un mouvement périodique vers lequel l’expérience ne converge pas ; à $r = 1$, l’oscillation croît sans limite.