Risonanza

La risonanza è l’oscillazione di grande ampiezza di un oscillatore spinto da una forza periodica con frequenza vicina alla propria. Qui una massa è appesa a una molla, uno smorzatore la frena e una forza $F_0\cos\omega t$ la spinge. La pagina registra l’oscillazione ciclo dopo ciclo, mostra quando ogni spinta fornisce energia e confronta il risultato con la risposta a regime per ogni frequenza di eccitazione.

La frequenza di eccitazione è $r = \omega/\omega_0$, lo spostamento è misurato in unità dello spostamento statico $x_{\mathrm{st}} = F_0/k$ e il tempo in periodi naturali $T_0$. Con smorzamento, il moto da fermo è la somma di un’oscillazione a regime alla frequenza di eccitazione e di una risposta libera che si estingue. I punti gialli segnano il massimo di $|x|$ in ogni ciclo di eccitazione. Si avvicinano all’ampiezza a regime man mano che la parte libera si attenua, talvolta salendo e scendendo lungo il percorso.

La fascia sotto la registrazione rappresenta la potenza $P = F v$. Una spinta fornisce energia quando è diretta nel verso del moto della massa. Nell’oscillazione smorzata a regime con $r = 1$, la massa ritarda esattamente di un quarto di ciclo rispetto alla forza. La forza è quindi in fase con la velocità e ogni spinta fornisce energia. In un’oscillazione a regime lontana da $r = 1$, la forza si oppone al moto per parte di ogni ciclo, indicata dal tratteggio. Molto lontano da $r = 1$, questa parte si avvicina a mezzo ciclo e i lavori positivo e negativo quasi si annullano.

Perché l’oscillazione smette di crescere? Considera un’oscillazione sinusoidale di ampiezza $A$ in ritardo di un quarto di ciclo rispetto alla forza, come quella a regime con $r = 1$. In un ciclo la forza fornisce $\pi F_0 A$ e lo smorzatore, di coefficiente $c$, dissipa $\pi c\omega A^2$. L’apporto cresce con $A$ e la perdita con $A^2$, quindi si equilibrano a una sola ampiezza, $A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$. Durante la crescita, il bilancio energetico mostra l’apporto effettivo, la perdita e la variazione dell’energia accumulata in ogni ciclo.

Meno smorzamento rende il picco più alto e stretto. Con $\zeta > 0$, la potenza media fornita è almeno la metà del suo massimo in una banda di frequenze di eccitazione larga esattamente $2\zeta$: la larghezza a metà potenza indicata sul grafico. Il picco di spostamento si trova sotto $r = 1$, a $r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$, purché $0 < 2\zeta^2 < 1$.

Con smorzamento debole, la parte libera oscilla alla propria frequenza, $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$. Quando questa è vicina alla frequenza di eccitazione ma non uguale, le due oscillazioni passano alternativamente in fase e fuori fase: la registrazione sale e scende formando battimenti. I battimenti svaniscono man mano che lo smorzamento elimina la parte libera. Senza smorzamento nulla la elimina e il moto non si stabilizza mai. Per $r \ne 1$, la curva dà allora l’ampiezza di un moto periodico a cui la simulazione non tende; con $r = 1$, l’oscillazione cresce senza limite.