Ressonância

A ressonância é a oscilação de grande amplitude de um oscilador sujeito a uma força periódica com frequência próxima da sua. Aqui, uma massa está suspensa numa mola, um amortecedor trava-a e uma força $F_0\cos\omega t$ atua sobre ela. A página regista a oscilação ciclo a ciclo, mostra quando a força fornece energia e compara o resultado com a resposta permanente para cada frequência de excitação.

A frequência de excitação é $r = \omega/\omega_0$, o deslocamento mede-se em unidades da deformação estática $x_{\mathrm{st}} = F_0/k$ e o tempo em períodos naturais $T_0$. Com amortecimento, o movimento a partir do repouso é a soma de uma oscilação permanente à frequência de excitação e de uma resposta livre que desaparece. Os pontos amarelos assinalam o maior $|x|$ de cada ciclo de excitação. Aproximam-se da amplitude permanente à medida que a parte livre se atenua, por vezes com subidas e descidas pelo caminho.

A faixa sob o registo representa a potência $P = F v$. A força fornece energia quando aponta no sentido do movimento da massa. Na oscilação permanente amortecida em $r = 1$, a massa atrasa-se exatamente um quarto de ciclo em relação à força. Esta fica em fase com a velocidade e fornece sempre energia. Numa oscilação permanente afastada de $r = 1$, a força contraria o movimento durante parte de cada ciclo, assinalada por linhas oblíquas. Longe de $r = 1$, essa parte aproxima-se de meio ciclo e os trabalhos positivo e negativo quase se anulam.

Porque deixa a oscilação de crescer? Considere uma oscilação sinusoidal de amplitude $A$, atrasada um quarto de ciclo em relação à força, como a oscilação permanente em $r = 1$. Num ciclo, a força fornece $\pi F_0 A$ e o amortecedor de coeficiente $c$ dissipa $\pi c\omega A^2$. A entrada cresce com $A$ e a perda com $A^2$, pelo que se equilibram numa única amplitude, $A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$. Enquanto a oscilação cresce, o balanço energético mostra a entrada real, a perda e a variação da energia armazenada em cada ciclo.

Menos amortecimento torna o pico mais alto e estreito. Com $\zeta > 0$, a potência média fornecida é pelo menos metade do seu máximo numa banda de frequências de excitação com largura exatamente $2\zeta$: a largura de meia potência marcada no gráfico. O deslocamento atinge o máximo abaixo de $r = 1$, em $r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$, desde que $0 < 2\zeta^2 < 1$.

Com pouco amortecimento, a parte livre oscila à sua própria frequência, $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$. Quando esta é próxima da frequência de excitação, mas não igual, as duas oscilações entram e saem de fase, fazendo o registo subir e descer em batimentos. Os batimentos atenuam-se à medida que o amortecimento elimina a parte livre. Sem amortecimento, esta não desaparece e o movimento nunca estabiliza. Para $r \ne 1$, a curva dá então a amplitude de um movimento periódico do qual a execução não se aproxima; em $r = 1$, a oscilação cresce sem limite.