共振

共振是振子受到周期力推动、而周期力的频率接近它自身固有频率时出现的大幅振动。本页的物块挂在弹簧上，阻尼器让它减慢，外力$F_0\cos\omega t$推着它。页面逐个周期记下振幅，标出每一次推动什么时候在送进能量，再把结果和各个驱动频率下的稳态响应对照。

驱动频率写成$r = \omega/\omega_0$，位移以静态伸长$x_{\mathrm{st}} = F_0/k$为单位，时间以固有周期$T_0$为单位。有阻尼时，从静止出发的运动是以驱动频率进行的稳态振动，加上一段逐渐衰减的自由运动。黄色的点标出每个驱动周期里$|x|$的最大值。自由运动衰减时，它们趋向稳态振幅，途中也可能起伏。

记录下方的条是功率$P = F v$。力和物块运动方向相同时，推一下就送进能量。有阻尼、$r = 1$的稳态里，物块正好比力晚四分之一周期，于是力和速度同步，每一次推动都在送进能量。$r$偏离1的稳态里，每个周期都有一段力和运动反向，条上画成斜线。离$r = 1$越远，这一段越接近半个周期，正负功几乎抵消。

振幅为什么不再长？设想一个振幅为$A$、比力晚四分之一周期的正弦振动，$r = 1$的稳态就是这样。每个周期外力送进$\pi F_0 A$，阻尼系数为$c$的阻尼器耗散$\pi c\omega A^2$。送进随$A$增长，耗散随$A^2$增长，所以两者只在一个振幅上持平：$A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$。振幅增长的过程中，能量账逐个周期列出实际的送进、耗散和储能的变化。

阻尼越小，峰越高越窄。$\zeta > 0$时，平均输入功率不低于峰值一半的那段驱动频率，宽度正好是$2\zeta$，就是图上标出的半功率宽度。位移的峰低于$r = 1$，在$r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$处，前提是$0 < 2\zeta^2 < 1$。

阻尼很小时，自由运动按自己的频率$\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$振荡。它和驱动频率接近但不相等时，两者时而同步、时而错开，记录就一涨一落形成拍。阻尼耗尽自由运动后，拍也就消失了。没有阻尼时，自由运动永远不会消失，运动也就不会稳定下来。$r \ne 1$时，曲线给出一个周期运动的振幅，但运动并不趋向它；$r = 1$时，振幅会无限增长。