共振

共振是振子受到週期力推動，且外力頻率接近自身固有頻率時出現的大幅振動。這裡的物塊掛在彈簧上，阻尼器使它減速，外力$F_0\cos\omega t$推動它。頁面逐週期記錄振動，顯示每次推動何時輸入能量，並將結果與各驅動頻率下的穩態響應比較。

驅動頻率寫成$r = \omega/\omega_0$，位移以靜態伸長量$x_{\mathrm{st}} = F_0/k$為單位，時間以固有週期$T_0$為單位。有阻尼時，從靜止出發的運動由驅動頻率下的穩態振動，加上逐漸衰減的自由響應組成。黃色點標示每個驅動週期中$|x|$的最大值。自由部分衰減時，這些點趨近穩態振幅，途中也可能上下起伏。

紀錄圖下方的色條顯示功率$P = F v$。力與物塊運動同向時，就會輸入能量。在有阻尼且$r = 1$的穩態振動中，物塊恰好比力落後四分之一週期，因此力與速度同相，每次推動都輸入能量。穩態振動若偏離$r = 1$，每個週期就有一段時間，力與運動反向，圖中以斜線表示。遠離$r = 1$時，這段時間趨近半個週期，正功與負功幾乎抵消。

振幅為什麼停止增長？考慮振幅為$A$、比力落後四分之一週期的正弦振動，就像$r = 1$時的穩態振動。每個週期，外力輸入$\pi F_0 A$，阻尼係數為$c$的阻尼器耗散$\pi c\omega A^2$。輸入隨$A$增長，耗散隨$A^2$增長，因此兩者只在一個振幅下平衡：$A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$。振幅增長時，能量收支會列出每週期實際的輸入、耗散與儲能變化。

阻尼越小，峰越高、越窄。當$\zeta > 0$時，平均輸入功率不低於峰值一半的驅動頻率範圍，其寬度恰為$2\zeta$，就是圖上標示的半功率帶寬。只要$0 < 2\zeta^2 < 1$，位移峰就出現在低於$r = 1$的頻率，位置為$r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$。

阻尼很小時，自由部分以自身頻率$\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$振動。當這個頻率接近但不等於驅動頻率時，兩者時而同相、時而錯開，紀錄便上下起伏，形成拍。阻尼逐漸消除自由部分，拍也隨之衰減。沒有阻尼時，自由部分不會消失，運動也不會穩定下來。若$r \ne 1$，曲線給出的是一種週期運動的振幅，但這次運動並不趨近它；若$r = 1$，振幅則無限增長。