공명

공명은 진동계가 자신의 고유 주파수에 가까운 주기적 힘을 받아 크게 진동하는 현상입니다. 여기서는 물체가 용수철에 매달려 있고, 감쇠기가 운동을 늦추며, 힘 $F_0\cos\omega t$가 물체를 밉니다. 페이지는 진동을 주기별로 기록하고 힘이 언제 에너지를 공급하는지 보여 주며, 결과를 각 구동 주파수의 정상 응답과 비교합니다.

구동 주파수는 $r = \omega/\omega_0$이고, 변위는 정적 변위 $x_{\mathrm{st}} = F_0/k$ 단위로, 시간은 고유 주기 $T_0$ 단위로 나타냅니다. 감쇠가 있으면 정지 상태에서 시작한 운동은 구동 주파수의 정상 진동과 점차 사라지는 자유 응답의 합입니다. 노란 점은 각 구동 주기에서 $|x|$의 최댓값을 표시합니다. 자유 성분이 줄어들면 정상 진폭에 가까워지며, 그 과정에서 오르내리기도 합니다.

기록 아래의 띠는 일률 $P = F v$를 나타냅니다. 힘이 물체의 운동 방향과 같을 때 에너지를 공급합니다. 감쇠가 있고 $r = 1$인 정상 진동에서는 물체가 힘보다 정확히 4분의 1주기 늦습니다. 따라서 힘과 속도의 위상이 같고, 힘은 언제나 에너지를 공급합니다. $r = 1$에서 벗어난 정상 진동에서는 매 주기의 일부 구간에서 힘이 운동을 방해하며, 이 구간을 빗금으로 표시합니다. $r = 1$에서 멀어지면 그 구간은 반 주기에 가까워지고, 양의 일과 음의 일이 거의 상쇄됩니다.

왜 진동이 더 커지지 않을까요? $r = 1$인 정상 진동처럼, 진폭이 $A$이고 힘보다 4분의 1주기 늦는 사인파 진동을 생각해 봅시다. 한 주기 동안 힘은 $\pi F_0 A$의 에너지를 공급하고, 계수가 $c$인 감쇠기는 $\pi c\omega A^2$만큼의 에너지를 소산시킵니다. 입력은 $A$에, 손실은 $A^2$에 비례해 늘어나므로 하나의 진폭 $A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$에서 균형을 이룹니다. 진동이 커지는 동안 에너지 수지는 매 주기의 실제 입력, 손실, 저장 에너지의 변화를 보여 줍니다.

감쇠가 작을수록 피크는 높고 좁아집니다. $\zeta > 0$이면 평균 입력 일률이 최댓값의 절반 이상인 구동 주파수 대역의 폭은 정확히 $2\zeta$입니다. 이것이 그래프에 표시한 반전력 대역폭입니다. $0 < 2\zeta^2 < 1$일 때 변위 피크는 $r = 1$보다 낮은 주파수인 $r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$에서 나타납니다.

감쇠가 약하면 자유 성분은 자신의 주파수 $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$로 진동합니다. 이 값이 구동 주파수와 가깝지만 같지 않으면 두 진동의 위상이 맞았다가 어긋나기를 반복하므로 기록이 오르내리는 맥놀이가 생깁니다. 감쇠로 자유 성분이 사라지면 맥놀이도 줄어듭니다. 감쇠가 없으면 자유 성분은 사라지지 않고 운동도 정상 상태에 이르지 않습니다. $r \ne 1$일 때 곡선은 어떤 주기 운동의 진폭을 나타내지만, 이번 운동이 그 상태로 수렴하지는 않습니다. $r = 1$일 때는 진폭이 한없이 커집니다.