Резонанс

Резонанс — колебания большой амплитуды, возникающие при действии периодической силы с частотой, близкой к собственной частоте осциллятора. Здесь тело висит на пружине, демпфер замедляет его, а сила $F_0\cos\omega t$ толкает. Страница записывает колебания цикл за циклом, показывает, когда сила подводит энергию, и сравнивает результат с установившимся откликом при каждой частоте возбуждения.

Частота возбуждения — $r = \omega/\omega_0$, смещение измеряется в единицах статического смещения $x_{\mathrm{st}} = F_0/k$, а время — в собственных периодах $T_0$. При наличии демпфирования движение из покоя складывается из установившихся колебаний с частотой возбуждения и затухающего свободного отклика. Жёлтые точки отмечают наибольшее $|x|$ за каждый цикл возбуждения. По мере затухания свободной составляющей они приближаются к установившейся амплитуде, иногда поднимаясь и опускаясь по пути.

Полоса под записью показывает мощность $P = F v$. Сила добавляет энергию, когда направлена по движению тела. В установившихся колебаниях с демпфированием при $r = 1$ тело отстаёт от силы ровно на четверть цикла. Поэтому сила совпадает по фазе со скоростью и всегда подводит энергию. В установившихся колебаниях вдали от $r = 1$ сила часть каждого цикла действует против движения; эта часть заштрихована. Далеко от $r = 1$ её длительность приближается к половине цикла, и положительная и отрицательная работа почти компенсируют друг друга.

Почему колебания перестают расти? Рассмотрим синусоидальное колебание амплитуды $A$, отстающее от силы на четверть цикла, как установившееся колебание при $r = 1$. За цикл сила подводит $\pi F_0 A$, а демпфер с коэффициентом $c$ рассеивает $\pi c\omega A^2$. Приток растёт пропорционально $A$, а потери — $A^2$, поэтому они уравновешиваются при одной амплитуде: $A = x_{\mathrm{st}}/(2\zeta)$. Пока колебания растут, энергетический баланс показывает фактический приток, потери и изменение запасённой энергии за каждый цикл.

Меньшее демпфирование делает пик выше и уже. При $\zeta > 0$ средняя подводимая мощность составляет не менее половины максимума в полосе частот возбуждения шириной ровно $2\zeta$. Это отмеченная на графике ширина по половинной мощности. Максимум смещения достигается ниже $r = 1$, при $r = \sqrt{1 - 2\zeta^2}$, если $0 < 2\zeta^2 < 1$.

При слабом демпфировании свободная составляющая колеблется со своей частотой $\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$. Если она близка к частоте возбуждения, но не равна ей, две составляющие то совпадают по фазе, то расходятся: запись поднимается и опускается, образуя биения. Биения затухают вместе со свободной составляющей. Без демпфирования она не исчезает, и движение не устанавливается. При $r \ne 1$ кривая тогда показывает амплитуду периодического движения, к которому этот запуск не приближается; при $r = 1$ колебания растут неограниченно.