相図

相図は微分方程式系の解を、各初期点を通る曲線として変数の平面に描きます。このページでは$2 \times 2$行列$A$による線形系$x' = Ax$を示します。トレース–行列式図の点$(\tau, \Delta)$を動かすと、図は鞍点、結節点、渦状点、中心へと変化し、隣の固有値平面には各図を決める2つの固有値が表示されます。

どの曲線も方向場に沿って進みます。矢印の長さはすべて同じで、方向だけを示します。速さは等時間間隔の目印に表れ、動きが遅い場所ほど目印が密になります。原点を通る直線に沿って進む解もあります。$Av = \lambda v$なら、$x(t) = e^{\lambda t} v$は解です。その導関数$\lambda e^{\lambda t} v$が、解に$A$を作用させた結果とちょうど等しいからです。つまり直線は$A$の固有方向で、$\lambda$は各方向の増加率です。$\lambda > 0$なら外向き、$\lambda < 0$なら内向きに進み、$\lambda = 0$なら動きません。

固有値は$\lambda^2 - \tau\lambda + \Delta = 0$を満たすので、$\tau$は和、$\Delta$は積、$\tau^2 - 4\Delta$は判別式です。図の境界はそれぞれ、固有値平面での変化に対応します。$\Delta = 0$より下では固有値の符号が逆で、図は鞍点になります。その線上では一方の固有値が0となり、直線全体の点が静止します。放物線$\tau^2 = 4\Delta$上では2つの固有値が重なり、その上では共役な複素数の組になります。$\Delta > 0$のとき、$\tau$の符号が減衰と増大を分け、$\tau = 0$上では固有値の組が虚軸上にあります。したがって$\tau$と$\Delta$が固有値と図の種類を決めます。ただし重複固有値の場合は、$A$が単位行列の倍数かどうかにも種類が依存します。

複素固有値$\alpha \pm \beta i$で$\beta > 0$のとき、零解以外の解はすべて時間$2\pi/\beta$で原点を1周し、その間に$e^{2\pi\alpha/\beta}$倍に拡大・縮小されます。このため1周離れた目印は原点から伸びる同じ半直線上に並び、毎回同じ倍率で変化します。$\alpha = 0$なら倍率は1となり、零解以外の軌道はすべて楕円として閉じます。これが中心です。$\Delta = 1$かつ$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \tau \end{pmatrix}$では、この系は$\zeta = -\tau/2$とする減衰振動系$x'' + 2\zeta x' + x = 0$になります。

放物線を横切ると、2本の直線ははさみが閉じるように1本に重なり、その後消えて、図はらせんになります。頂点を除けば、放物線上の典型的な行列にはその1本だけがあり、ほかの解はすべてその直線に接しながら原点に近づくか離れます。$(\tau, \Delta) = (-2, 1)$では、行列$-I$は同じ固有値をもちますが、どの方向にも直線解があります。基底変換$A \mapsto PAP^{-1}$は図の形を変えても、$\tau$、$\Delta$、固有値と種類を保ちます。単位行列の倍数は変わりません。