Champ de pentes : visualisation interactive

Les champs de pentes dans cette visualisation

Une équation différentielle du premier ordre $y' = f(x, y)$ prescrit une pente en chaque point du plan. Son champ de pentes (aussi appelé champ de directions) représente cette pente par un court segment en chaque point d’un réseau. Une solution est une fonction dérivable $y(x)$ dont la courbe est partout tangente aux segments ; un problème de Cauchy cherche celle passant par un point donné $P = (x_0, y_0)$ . Lorsque f est continue et localement lipschitzienne en y, une unique solution passe par chaque point, sur un certain intervalle de x — les pentes seules déterminent donc chaque solution.

Déplacez P : toute la courbe qui le traverse varie continûment (sur tout intervalle fermé où la solution existe). Pour les huit équations prédéfinies, les courbes sont des solutions explicites ; pour une équation saisie, elles sont calculées numériquement par une méthode de Runge-Kutta adaptative (Dormand–Prince 5(4), tolérance relative $10^{-8}$ ). Si y′ dépend seulement de x, les solutions diffèrent d’une constante : $+C$ est une translation verticale. Si elle dépend seulement de y, les zéros de f sont des solutions d’équilibre horizontales, et les solutions entre deux équilibres voisins sont des translations horizontales les unes des autres.

Méthode d’Euler, pas h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

La méthode d’Euler suit la pente lue au point actuel sur un pas de longueur h, puis la relit. Ici, elle va de P à l’arrivée X (le dernier pas étant raccourci pour atteindre X). Pour une solution régulière, son erreur en X est approximativement proportionnelle à h : la touche rouge divise h par deux niveau après niveau, et chaque division divise approximativement l’erreur par deux ; le rapport des erreurs successives tend donc vers 2.

À observer

Les segments ont la même longueur et aucune pointe : seule leur pente a un sens. Un champ de pentes est le champ de vecteurs $(1, f)$ dont on a supprimé les longueurs des flèches.
Une solution n’existe pas nécessairement pour tout x. Pour $y' = y^2$ , la solution passant par (0, 1) est $1/(1-x)$ , qui croît sans borne quand x tend vers 1 ; la page l’arrête à la ligne en pointillés et ne la relie jamais à l’autre branche. Pour $y' = -x/y$ , la solution passant par (0, 2) est un demi-cercle qui s’arrête là où sa pente devient verticale. Euler renvoie encore un nombre au-delà d’un tel point ; la valeur de la solution est alors indiquée comme inexistante.
Sans la condition de Lipschitz, une solution n’est pas nécessairement unique : $y = 0$ et $y = x^3$ résolvent toutes deux $y' = 3y^{2/3}$ en passant par (0, 0), ainsi que toute courbe qui reste sur y = 0 un certain temps avant de partir. La méthode d’Euler depuis (0, 0) reste à 0, quel que soit le pas.
Les isoclines sont les courbes où la pente est constante, $f(x, y) = c$ ; le long de chacune, les segments sont parallèles, ce qui permet d’esquisser les champs de pentes à la main. Avec h = π/n, Euler appliqué à $y' = \cos x$ de (0, 0) à π renvoie exactement h.

Commandes

Cliquez sur un espace vide pour ajouter une solution (jusqu’à six) ; la dernière touchée devient P, le point de départ d’Euler. Avec Déplacer la vue activé, faire glisser déplace plutôt l’image.
Déplacez le ▲ sur l’axe des x, ou tournez sa roue, pour régler l’arrivée d’Euler X. La touche rouge part du h actuel ; à la fin, elle repart de h = 1. La fenêtre Relevé de l’approche recueille la valeur, l’erreur et le rapport de chaque niveau, même lorsqu’elle est fermée.

Voir aussi

La méthode d’Euler pour $y' = y$ , de (0, 1) à 1, donne $(1 + h)^{1/h}$ , le facteur des intérêts composés. Un système de deux équations se représente par un portrait de phase.

Pour aller plus loin: Wikipédia: Slope field (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods (Anglais).