Produit matriciel

Une matrice 2 × 2 est une application linéaire du plan, et ses colonnes sont les images de $\hat\imath = (1, 0)$ et $\hat\jmath = (0, 1)$. Le produit $AB$ est la matrice de deux applications effectuées successivement, d’abord $B$, puis $A$ : $(AB)x = A(Bx)$ pour tout vecteur $x$. La matrice voisine de $x$ agit en premier ; un produit se lit donc de droite à gauche.

Dans l’ordre $AB$, la figure de gauche montre $B$ sur le quadrillage standard : $\hat\imath$ et $\hat\jmath$ sont des flèches pâles en pointillés, et leurs images $b_1$ et $b_2$, les colonnes de $B$, sont en bleu. La figure de droite montre $A$ : le quadrillage qu’elle produit à partir du quadrillage standard, ses colonnes $a_1$ et $a_2$ en traits foncés, et les colonnes du produit, $Ab_1$ et $Ab_2$, en bleu. Le drapeau montre les deux mêmes étapes sur une forme. Chaque figure a sa propre échelle, car un produit peut s’étendre bien au-delà de ses facteurs.

D’où vient une colonne de $AB$ ? $B$ envoie $\hat\imath$ sur $b_1 = (b_{11}, b_{21})$, soit $b_{11}$ fois $\hat\imath$ et $b_{21}$ fois $\hat\jmath$. Comme $A$ est linéaire, elle envoie ce point sur la même combinaison de ses propres colonnes : $b_{11}$ fois $a_1$, puis $b_{21}$ fois $a_2$. Elle ne lit que les deux nombres de $b_1$, sans tenir compte de la façon dont $b_1$ a été obtenu. À droite, la colonne sélectionnée du produit est tracée suivant cette recette : deux fins déplacements le long de $a_1$ et $a_2$, qui aboutissent à la flèche bleue. Faites glisser $b_1$ à gauche : les déplacements s’allongent et se raccourcissent avec ses composantes.

La règle appelée « ligne fois colonne » est cette recette écrite en coordonnées. La coordonnée x de $Ab_j$ est la somme des composantes horizontales des deux déplacements, $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$ : la ligne 1 de $A$ multipliée par la colonne $j$ de $B$. La coordonnée y s’obtient de la même façon avec la ligne 2. Ligne × colonne trace ces composantes le long des axes, chacune accompagnée de son produit.

L’ordre compte parce que la seconde application agit sur le résultat de la première. Effectuez un quart de tour, puis un cisaillement : $\hat\imath$ va en $(0, 1)$, puis en $(1, 1)$. Cisaillez d’abord, puis tournez : $\hat\imath$ reste en $(1, 0)$, puis va en $(0, 1)$. Une fois la composition effectuée dans l’autre ordre, son résultat apparaît à droite sous forme de flèches bleues en pointillés, jusqu’à ce que A ou B change. Certaines paires commutent. Deux rotations du plan autour de l’origine additionnent leurs angles dans les deux ordres.

Les facteurs d’aire se multiplient. $B$ transforme le carré unité en un parallélogramme d’aire $|\det B|$, puis $A$ multiplie chaque aire par $|\det A|$. En tenant compte des signes, $\det(AB) = \det A\cdot\det B$ ; et comme les nombres commutent, $\det(AB) = \det(BA)$ même lorsque $AB \ne BA$. Dans le réglage initial, $\det A = 2$ et $\det B = 3$ ; les deux produits ont donc pour déterminant 6.