矩阵乘法

2 × 2矩阵是平面上的一个线性变换，它的两列就是$\hat\imath = (1, 0)$和$\hat\jmath = (0, 1)$被送到的位置。乘积$AB$是接连做两个变换的矩阵：先做$B$，再做$A$，对每个向量$x$都有$(AB)x = A(Bx)$。挨着$x$的矩阵先作用，所以乘积要从右往左读。

顺序为$AB$时，左图在标准网格上画$B$：$\hat\imath$和$\hat\jmath$是淡淡的虚线箭头，它们的像$b_1$、$b_2$就是$B$的两列，画成蓝色。右图画$A$：它把标准网格变成的网格，它的两列$a_1$、$a_2$是墨色，乘积的两列$Ab_1$、$Ab_2$是蓝色。旗子在一个图形上演示同样的两步。两张图各有各的比例，因为乘积可能比两个因子大得多。

$AB$的一列是怎么来的？$B$把$\hat\imath$送到$b_1 = (b_{11}, b_{21})$，也就是$b_{11}$步$\hat\imath$加$b_{21}$步$\hat\jmath$。$A$是线性的，所以它把这一点送到自己两列上同样的步数：$b_{11}$个$a_1$接上$b_{21}$个$a_2$。$A$只读$b_1$的两个数，不管$b_1$是怎么来的。右图把选中的那一列乘积画成这个配方：沿$a_1$、$a_2$的两段细线，终点就是蓝色箭头。在左图拖$b_1$，这两段跟着它的数伸缩。

课本里的“行乘列”，就是这个配方的坐标写法。$Ab_j$的横坐标，是两段细线在横向上带正负号的位移之和，$a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$，也就是$A$的第1行对着$B$的第$j$列逐项相乘再相加。纵坐标用第2行，算法一样。“行乘列”把这些部分沿坐标轴画出来，每一段都标着它的乘积。

顺序要紧，因为第二个变换作用在第一个变换的结果上。先转四分之一圈再剪切：$\hat\imath$先到$(0, 1)$，再到$(1, 1)$。先剪切再转：$\hat\imath$先留在$(1, 0)$，再到$(0, 1)$。另一种顺序也复合过之后，它的结果会以蓝色虚线箭头画在右图上，直到改动A或B。也有可以交换的矩阵：平面上绕原点的两个转动，不管先后，转角都是相加。

面积倍数相乘。$B$把单位正方形变成面积为$|\det B|$的平行四边形，$A$再把每块面积乘上$|\det A|$。带上符号，就是$\det(AB) = \det A\cdot\det B$；数的乘法可以交换，所以即使$AB \ne BA$，也有$\det(AB) = \det(BA)$。默认状态下$\det A = 2$、$\det B = 3$，两种乘积的行列式都是6。