Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales busca valores de las incógnitas que satisfagan varias ecuaciones lineales a la vez. Reúne los coeficientes en una matriz A, las incógnitas en un vector x y los segundos miembros en un vector b, y todo el sistema se convierte en Ax = b. Esta página trabaja con sistemas cuadrados: dos ecuaciones en x e y o tres en x, y, z. Cada sistema se dibuja dos veces: por filas y por columnas.

Por filas, una ecuación en x e y con algún coeficiente distinto de 0 es una recta, y una solución es un punto que satisface todas las ecuaciones. Por columnas, las mismas ecuaciones dicen que x copias de la primera columna a₁ más y copias de la segunda columna a₂ dan b. Ambas vistas muestran, por tanto, el mismo par de números: el cruce de la izquierda es la receta para b a la derecha. La vista de la derecha tiene los ejes ① y ②, uno por ecuación, de modo que sus puntos son segundos miembros, no valores de x e y.

Un sistema lineal tiene exactamente una solución, ninguna o infinitas. Si det A ≠ 0, hay exactamente una sea cual sea b. Si det A = 0, las filas son dependientes y las columnas también, de modo que ambas vistas degeneran a la vez. A la izquierda, las rectas se vuelven paralelas o coinciden, salvo que una ecuación haya perdido todos sus coeficientes. A la derecha, las columnas caen sobre una misma recta y algunos segundos miembros dejan de ser alcanzables. Si b es uno de ellos, las ecuaciones se contradicen y la eliminación termina en una ecuación imposible como 0 = 1. En caso contrario, hay infinitas soluciones.

La opción Eliminar ejecuta la eliminación de Gauss–Jordan paso a paso. Transforma el sistema en otro más sencillo con exactamente las mismas soluciones. Cada paso suma a una ecuación un múltiplo de otra, multiplica una ecuación por un número no nulo o intercambia dos ecuaciones. Todos los pasos son reversibles, así que no se pierde ni se gana ninguna solución. Al sumar a una ecuación un múltiplo de otra, si las rectas se cortan, la recta modificada gira alrededor del cruce y la solución no se mueve. Si las rectas son paralelas, se desplaza hacia el infinito y deja 0 = c. Si coinciden, permanece donde está y se convierte en 0 = 0. En la vista por columnas, ese mismo paso es un cizallamiento y la receta no cambia. Los intercambios y las multiplicaciones por números negativos se muestran como saltos, porque hacerlos gradualmente podría pasar por sistemas con otras soluciones.

Una solución única puede seguir siendo muy sensible. Cuando dos rectas son casi paralelas, cambiar un segundo miembro en 0.01 puede desplazar mucho el cruce.

Con tres incógnitas, una ecuación con algún coeficiente distinto de 0 es un plano. Tres planos pueden tener en común un punto, una recta, un plano entero o nada. Pueden no tener ningún punto común aunque ningún par sea paralelo: cada par se corta entonces en una recta y las tres rectas discurren en paralelo como las aristas de un prisma. Las dos vistas 3D giran juntas solo para facilitar la comparación, no porque sus ejes coincidan.