线性方程组

线性方程组要找一组未知数的值，让几个线性方程同时成立。把系数排成矩阵A，未知数排成向量x，右边排成向量b，整个方程组就写成Ax = b。本页演示方阵的情形：两个方程、两个未知数x和y，或者三个方程、三个未知数x、y、z。每个方程组画两遍，一遍按行读，一遍按列读。

按行读，关于x、y的方程只要有一个系数不为0，就是一条直线，解就是满足所有方程的点。按列读，同样的方程说的是：x份第一列a₁加上y份第二列a₂，正好得到b。所以两张图里是同一对数：左图交点的坐标，就是右图配出b的配方。右图的两根轴是①和②，每根对应一个方程，所以右图上的点表示各方程右边的值，不是x、y的取值。

线性方程组的解要么恰好一个，要么没有，要么有无穷多个。det A ≠ 0时恰好有一个解，b取什么都一样。det A = 0时，各行线性相关，各列也线性相关，所以两张图在同一刻退化。左图里，两条直线变得平行，或者重合成一条，除非某个方程的系数全变成了0。右图里，两列落到同一条直线上，有些右边就再也配不出来。b恰好是其中之一时，方程互相矛盾，消元最后会剩下0 = 1这样不可能成立的式子。否则就有无穷多个解。

“消元”一步一步地做高斯–若尔当消元，把方程组换成一个更简单、解完全相同的方程组。每一步要么把一个方程的倍数加到另一个方程上，要么把一个方程乘以一个不为0的数，要么交换两个方程。每一步都能撤回，所以不会丢解，也不会多出解。把一个方程的倍数加到另一个方程上时，如果两条直线相交，被改的那条就绕着交点转，解始终不动。如果两条直线平行，它就滑向无穷远，留下0 = c。如果两条直线重合，它不动，最后变成0 = 0。在列视角里，同一步是一次切变，配方不变。交换和乘负数画成跳变，因为慢慢做的话，中途可能经过解不一样的方程组。

解虽然唯一，却可能对微小的改动非常敏感。两条直线几乎平行时，一个方程的右边改动0.01，交点就可能移出很远。

三个未知数时，方程只要有一个系数不为0，就是一个平面。三个平面可能交于一点、交成一条直线、重合成一个平面，也可能没有公共点。即使任意两个都不平行，它们也可能没有公共点：这时每两个平面交成一条直线，三条交线并排，像三棱柱的三条棱。两张三维图一起转，只是为了方便对照，并不是因为它们的轴相同。