선적분

힘의 장 $F$가 A에서 B까지 경로 $C$를 따라 움직이는 물체에 힘을 가합니다. 길이 $ds$의 짧은 걸음마다 진행 방향의 힘 성분만 일을 하며 그 양은 $F\cdot T\,ds$입니다. $T$는 단위 접벡터입니다. 이 조각들을 더하면 $C$를 따른 $F$의 선적분, 즉 일 $W$가 됩니다.

경로의 노란 눈금은 $F\cdot T$를 나타냅니다. 힘이 진행을 도우면 속이 찬 눈금이 앞을 향하고, 방해하면 속이 빈 눈금이 뒤를 향합니다. 아래 그래프는 A에서 걸어간 거리 $s$에 대한 $F\cdot T$의 값입니다. 축 아래의 빗금 면적을 음수로 세면 빨간 점 S까지의 면적은 지금까지 한 일이고, 전체 면적은 $W$입니다. 선적분이 $s$에 대한 보통의 적분으로 바뀐 것입니다.

S에서 힘은 경로 방향의 노란 성분과 경로에 직각인 옅은 성분으로 나뉘며, 직각인 성분은 일을 하지 않습니다. 방사형 벡터장 $F = (x, y)$에서 원점을 중심으로 반지름 2인 원을 돌면 힘의 크기는 2이지만 바깥쪽을 향하므로 $F\cdot T = 0$이고 $W = 0$입니다. 일은 단순히 힘의 크기에 경로 길이를 곱한 것이 아닙니다. 방향 반전은 같은 경로를 반대로 따라가며 $T$를 $-T$로, $W$를 $-W$로 바꿉니다.

기울기 벡터장 $F = \nabla\varphi$에서는 연쇄법칙에 따라 $F\cdot T\,ds$는 한 걸음 동안의 $\varphi$ 변화량입니다. S까지 한 일은 $\varphi(S) - \varphi(A)$이고, $\nabla\varphi$가 연속이면 조각마다 매끄러운 어떤 경로를 따른 일도 양 끝점에만 달려 있습니다.

등고선은 수식 없이 그 이유를 보여 줍니다. $\varphi$의 값이 정수인 선들을 그립니다. 한 선에서 바로 위의 선으로 가면 $\varphi$의 값이 1만큼 늘어나므로, 그 사이를 올라가는 경로에서는 도중에 연속적으로 쌓이는 일이 한 단위가 됩니다. 경로가 아무리 구불구불해도 추가로 지나는 횟수는 올라감과 내려감이 한 쌍씩 생겨 상쇄됩니다. 따라서 A에서 B까지 어떤 경로도 같은 순횟수의 선을 지나며, 여기에 양 끝의 한 단위 미만 부분을 더하면 $\varphi(B) - \varphi(A)$가 됩니다.

일이 경로의 양 끝점에만 달린 벡터장을 보존장이라고 합니다. 이런 장에서는 모든 닫힌 경로가 시작점으로 돌아오므로 한 일이 0입니다.

회전 벡터장 $F = (-y, x)$에는 퍼텐셜이 없습니다. $(2, 0)$에서 $(-2, 0)$까지 위쪽 반원을 따라가면 길이 $2\pi$ 전체에서 $F\cdot T = 2$이므로 $W = 4\pi \approx 12.57$입니다. x축에서는 힘이 경로에 직각이므로 $W = 0$입니다. 위쪽으로 갔다가 축을 따라 돌아오는 닫힌 경로에서는 $4\pi$만큼 일을 합니다.

나선 계단 $F = (-y, x)/(x^2 + y^2)$은 그 중간에 있습니다. 정의되는 모든 곳에서 회전이 0이며, 원점을 제외한 각 점 근방에서는 극각 $\theta$의 기울기 벡터장입니다. 하지만 원점을 반시계 방향으로 한 바퀴 돌면 각도가 $2\pi$만큼 늘어나므로 한 바퀴 전체에 적용되는 단일 각도 함수는 없습니다. 등고선은 반직선이며, 일은 경로를 따라 연속적으로 추적한 $\theta$의 변화량입니다. 원점을 반시계 방향으로 한 바퀴 돌면 $2\pi \approx 6.28$, 원점을 둘러싸지 않는 원을 한 바퀴 돌면 0입니다.