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Cálculo multivariável · Campo vetorial

Campo vetorial

Um campo vetorial associa uma seta F(x, y) = (P, Q) a cada ponto do seu domínio; interpretado como velocidade, transporta tudo ao longo do campo. Deixe cair tinta e veja as gotas moverem-se, rodarem, deformarem-se por cisalhamento e alongarem-se.

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Campos vetoriais nesta visualização

Um campo vetorial no plano associa a cada ponto (x,y)(x, y) do seu domínio um vetor F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y)). Interpretado como campo de velocidades, transporta cada ponto: uma partícula obedece ao sistema autónomo abaixo, e a sua trajetória é uma curva integral (uma linha de corrente, ou linha de escoamento) do campo. Esta página desenha o campo, transporta tinta e partículas ao longo dele e calcula F onde colocar a sonda.

Uma partícula no campo
x′(t)=P(x,y),y′(t)=Q(x,y)x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

Uma seta representa apenas a velocidade naquele instante; por isso, uma partícula não percorre uma seta reta, mas uma curva tangente às setas em todos os pontos: no campo de rotação (−y,x)(-y, x), a seta em (1, 0) aponta verticalmente para cima, mas o centro da gota percorre a circunferência trigonométrica. As setas da malha usam uma escala comum, indicada por baixo da imagem (algumas mais compridas são limitadas e assinaladas com um traço oblíquo); a seta da sonda é F(P) com comprimento real, com as componentes P e Q a tracejado.

Uma pequena gota de tinta revela a estrutura do campo perto de um ponto. Em primeira ordem, é transportada por F no seu centro e deformada pela matriz das derivadas do campo: a área cresce à taxa relativa div⁡F\operatorname{div}\mathbf F (para uma gota de dimensão finita, a média da divergência sobre ela), os seus elementos de linha infinitesimais rodam, em média, à taxa 12curl⁡F\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F, e o que resta é cisalhamento e alongamento, que nenhum desses números descreve. Os dois diâmetros mostram-no: no campo de cisalhamento, um inclina-se 45° até t = 1 enquanto o outro permanece horizontal.

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O que observar

  • As partículas de fundo reaparecem em locais aleatórios, pelo que a sua concentração não tem significado; para ver a expansão, observe a área de uma gota (divergência, E25). Os seus pequenos rastos desvanecem-se e não são linhas de corrente — estas têm uma tecla própria.
  • Cada gota começa em t = 0 quando é colocada; o indicador acompanha a gota mais recente. Avançar aumenta t, recuar diminui-o, e ambos podem atravessar 0. Pode deixar cair tinta enquanto o escoamento decorre em qualquer sentido. O tempo negativo segue o mesmo campo para trás a partir do círculo inicial; não exige um passado gravado. As cinco predefinições lineares usam a exponencial matricial; o pêndulo e os campos introduzidos usam integração numérica com controlo de erro. A reversibilidade exige soluções únicas que existam ao longo de todo o percurso, e os pontos que pararam não podem ser recuperados.
  • As gotas param ao sair da área calculada, onde o campo diverge para infinito ou não tem valor; o contorno interrompe-se aí e a gota perde o preenchimento. Os campos desta página são bidimensionais e não variam com o tempo.
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Controlos

  • Clique na imagem para deixar uma gota de tinta ou arraste para criar uma sequência de gotas (no máximo três). Com Mover vista ativo, arrastar desloca a vista. Arraste P ou introduza as coordenadas (−100 a 100); o ponto encaixa na malha das setas. Introduza P e Q com + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
  • O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores: Espaço inicia ou para o escoamento, → e ← definem o sentido, e H oculta o valor de F na sonda. Partilhar copia um link que reabre o campo, a sonda e a tinta no respetivo instante.
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Para saber mais: Wikipédia: Vector field (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.1 Vector Fields (Inglês).