Math

Анализ функций нескольких переменных · Векторное поле

Векторное поле

Векторное поле приписывает каждой точке области определения стрелку F(x, y) = (P, Q); если понимать её как скорость, поле переносит всё вдоль себя. Капните чернила и наблюдайте движение, поворот, сдвиг и растяжение капель.

01

Векторные поля в этой визуализации

Векторное поле на плоскости приписывает каждой точке (x,y)(x, y) своей области определения вектор F(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y)). Если понимать его как поле скоростей, оно переносит каждую точку: частица подчиняется автономной системе ниже, а её путь — интегральная кривая (линия тока) поля. Страница рисует поле, переносит по нему чернила и частицы и вычисляет F в любой точке, куда вы поставите зонд.

Частица в поле
x′(t)=P(x,y),y′(t)=Q(x,y)x'(t) = P(x, y), \qquad y'(t) = Q(x, y)

Стрелка — лишь скорость в данный момент, поэтому частица движется не вдоль прямой стрелки, а по кривой, всюду касательной к стрелкам: в поле вращения (−y,x)(-y, x) стрелка в (1, 0) направлена строго вверх, но центр капли идёт по единичной окружности. Стрелки сетки имеют единый масштаб, указанный под рисунком (несколько более длинных укорочены и отмечены косой чертой); стрелка зонда — F(P) истинной длины, её составляющие P и Q показаны пунктиром.

Малая капля чернил показывает структуру поля вблизи точки. В первом приближении её переносит F в её центре, а деформирует матрица производных поля: площадь растёт с относительной скоростью div⁡F\operatorname{div}\mathbf F (для капли конечного размера — средняя дивергенция по её площади), бесконечно малые линейные элементы в среднем вращаются со скоростью 12curl⁡F\tfrac12\operatorname{curl}\mathbf F, а остальное — сдвиг и растяжение, не описываемые этими двумя числами. Это видно по двум диаметрам: в поле сдвига один наклоняется на 45° к t = 1, а другой остаётся горизонтальным.

02

На что обратить внимание

  • Фоновые частицы заново возникают в случайных местах, поэтому их сгущение ничего не означает; чтобы увидеть расширение, следите за площадью капли (дивергенция, E25). Короткие хвосты частиц исчезают и не являются линиями тока: для них есть отдельная клавиша.
  • Каждая капля начинает с t = 0 в момент добавления; показания относятся к последней добавленной капле. Направление вперёд увеличивает t, назад — уменьшает; оба могут проходить через 0. Чернила можно добавлять при потоке в любую сторону. Отрицательное время следует тому же полю назад от начального круга; запись прошлого не требуется. Пять линейных примеров используют матричную экспоненту; маятник и введённые поля — численное интегрирование с контролем погрешности. Обратимость требует единственности решений и их существования на всём пути; остановившиеся точки восстановить нельзя.
  • Капли останавливаются там, где выходят из области вычислений, где поле неограниченно растёт или не определено; контур там обрывается, а заливка исчезает. Поля на этой странице двумерны и не меняются со временем.
03

Управление

  • Нажмите на рисунок, чтобы капнуть чернила, или перетаскивайте для цепочки капель (не более трёх). При включённом перемещении вида перетаскивание двигает вид. Перетаскивайте P или введите координаты (от −100 до 100); точка привязывается к сетке стрелок. Вводите P и Q с помощью + − × ÷ ^, sin, exp, ln, sqrt …
  • Режим презентации открывает полноэкранный вид для проектора: пробел запускает или останавливает поток, → и ← задают направление, H скрывает значение F у зонда. «Поделиться» копирует ссылку, восстанавливающую поле, зонд и чернила в их текущем времени.
04

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Vector field (Английский); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.1 Vector Fields (Английский).