二重积分

在区域R上铺一张n × n的网格，中心落在R里的每一格上立一根柱子，高度是f在格中心的值，柱子的总体积$\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$是一个黎曼和。网格越分越细，这些和趋近同一个数，就是二重积分$\iint_R f\,dA$。f为负的地方，柱子挂在地板以下，算负数，所以二重积分是有向体积。

切片把二重积分化成两次普通积分。固定x时，蓝色的刀是平面x = s，切出的切面是蓝色的板，板的有向面积$A(s)$是一个关于y的普通积分。视图下方的图把A对刀的位置画出来。不开“小柱子”时，到刀为止的黄色有向面积是已经扫过的体积，全程的有向面积就是二重积分。这就是累次积分。R的每一片都是一整段时，它写成

内层积分的上下限，是刀进出R的位置，也就是地板上的蓝点。在三角形$0 \le y \le x \le 2$上，x处的切片从y = 0到y = x，所以内层积分是$\int_0^x$：上限随x变化。在圆环$1 \le x^2 + y^2 \le 4$上，$|x| < 1$的刀穿过中间的洞，切片断成两块，内层积分就变成两个积分之和，每块一个。

交换次序，是从区域重新读出上下限，不是把上下限对调。同一个三角形上，固定y的切片从x = y到x = 2，所以

“两种顺序并排”把两种切片面积并排画出来。它们是不同的函数：$A(x) = x + x^2/2$一路上升，$B(y) = (1 + y)(2 - y)$先升后降，下面的面积却相等。有限个柱子，按行加和按列加，总数一样；网格越分越细，这两种加法就成了两个累次积分。如果f在一个有界闭区域上连续，区域的边界由有限条光滑曲线组成，两种次序都等于二重积分。这就是富比尼定理，本页的每个预设都满足它的条件。

有时只有一种次序能用初等函数算出来。在三角形$0 \le x \le y \le 1$上，固定x，剩下$\int_x^1 e^{y^2}\,dy$，而$e^{y^2}$没有初等的原函数。改为固定y，每一片都是宽y、高$e^{y^2}$的矩形，体积是$\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$。