Intégrale double

Sur un maillage n × n d’une région R, chaque case dont le centre appartient à R porte une colonne de hauteur égale à f en ce centre. Le volume total des colonnes, $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$, est une somme de Riemann. Quand le maillage s’affine, les sommes tendent vers un nombre, l’intégrale double $\iint_R f\,dA$. Là où f est négative, la colonne pend sous le sol et compte négativement : l’intégrale double est donc un volume algébrique.

La découpe transforme l’intégrale double en deux intégrales simples. Pour les coupes à x fixé, le plan bleu est x = s. Sa section est le panneau bleu, dont l’aire algébrique $A(s)$ est une intégrale simple selon y. Le graphique sous la vue trace A en fonction de la position du plan. Lorsque l’option Colonnes est désactivée, l’aire algébrique colorée en jaune jusqu’au plan est le volume déjà balayé, et l’aire algébrique sur tout l’intervalle est l’intégrale double. C’est l’intégrale itérée. Lorsque chaque section de R est un seul intervalle, elle s’écrit

Les bornes intérieures sont les points d’entrée et de sortie du plan dans R, repérés en bleu au sol. Sur le triangle $0 \le y \le x \le 2$, la section à x fixé va de y = 0 à y = x ; l’intégrale intérieure est donc $\int_0^x$ : la borne supérieure dépend de x. Sur la couronne $1 \le x^2 + y^2 \le 4$, un plan avec $|x| < 1$ traverse le trou, la section se sépare en deux morceaux, et l’intégrale intérieure devient une somme de deux intégrales, une par morceau.

Changer l’ordre demande de relire les bornes sur la région, pas de les permuter. Sur le même triangle, une section à y fixé va de x = y à x = 2, donc

L’option Les deux ordres montre les deux aires de coupe côte à côte. Ce sont des fonctions différentes : $A(x) = x + x^2/2$ augmente toujours, tandis que $B(y) = (1 + y)(2 - y)$ augmente puis diminue ; pourtant, les aires sous leurs courbes sont égales. Une somme finie de colonnes donne le même total, qu’on additionne ligne par ligne ou colonne par colonne. Les deux intégrales itérées sont les limites de ces deux façons d’additionner lorsque le maillage s’affine. Si f est continue sur une région fermée et bornée dont le bord est formé d’un nombre fini de courbes lisses, les deux ordres donnent l’intégrale double. C’est le théorème de Fubini ; tous les exemples de cette page vérifient ces conditions.

Parfois, un seul ordre permet un calcul avec des fonctions élémentaires. Sur le triangle $0 \le x \le y \le 1$, fixer x laisse $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$, et $e^{y^2}$ n’a pas de primitive élémentaire. En fixant plutôt y, chaque coupe est un rectangle de largeur y et de hauteur $e^{y^2}$, et le volume vaut $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$.