Двойной интеграл

На сетке n × n над областью R каждая ячейка, центр которой лежит в R, несёт столбик высотой f в этом центре. Их суммарный объём $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$ — сумма Римана. При измельчении сетки суммы приближаются к одному числу — двойному интегралу $\iint_R f\,dA$. Там, где f отрицательна, столбик свисает под основание и учитывается со знаком минус, поэтому двойной интеграл — объём с учётом знака.

Сечения превращают двойной интеграл в два обычных. Для сечений по x синяя секущая плоскость имеет уравнение x = s. Она вырезает синюю панель, площадь которой с учётом знака $A(s)$ — обычный интеграл по y. График под изображением показывает A в зависимости от положения плоскости. При выключенных Столбиках жёлтая площадь с учётом знака до плоскости равна уже пройденному объёму, а площадь на всём промежутке — двойному интегралу. Это повторный интеграл. Если каждое сечение R — один промежуток, запись имеет вид

Внутренние пределы — места входа плоскости в R и выхода из неё, синие точки на основании. На треугольнике $0 \le y \le x \le 2$ сечение при x идёт от y = 0 до y = x, поэтому внутренний интеграл — $\int_0^x$: верхний предел зависит от x. На кольце $1 \le x^2 + y^2 \le 4$ плоскость с $|x| < 1$ пересекает отверстие, сечение разделяется на две части, а внутренний интеграл становится суммой двух интегралов, по одному для каждой части.

Изменить порядок — значит заново определить пределы по области, а не просто поменять их местами. На том же треугольнике сечение при фиксированном y идёт от x = y до x = 2, поэтому

Режим Оба порядка показывает обе площади сечений рядом. Это разные функции: $A(x) = x + x^2/2$ всё время растёт, а $B(y) = (1 + y)(2 - y)$ сначала растёт, затем убывает, но площади под их графиками совпадают. Конечная сумма столбиков одинакова при сложении по строкам или по столбцам; два повторных интеграла — пределы этих способов сложения при измельчении сетки. Если f непрерывна на замкнутой ограниченной области, граница которой состоит из конечного числа гладких кривых, оба порядка дают двойной интеграл. Это теорема Фубини; все примеры на странице удовлетворяют её условиям.

Иногда только один порядок позволяет обойтись элементарными функциями. На треугольнике $0 \le x \le y \le 1$ фиксация x оставляет $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$, а $e^{y^2}$ не имеет элементарной первообразной. При фиксированном y каждое сечение — прямоугольник ширины y и высоты $e^{y^2}$, и объём равен $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$.