التكامل المزدوج

على شبكة ⁦n × n⁩ فوق المنطقة ⁦R⁩، تحمل كل خلية يقع مركزها في ⁦R⁩ عمودًا ارتفاعه قيمة ⁦f⁩ عند ذلك المركز. ومجموع أحجام الأعمدة، $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$، هو مجموع ريمان. كلما دقّت الشبكة اقتربت المجاميع من عدد واحد، هو التكامل المزدوج $\iint_R f\,dA$. حيث تكون ⁦f⁩ سالبة يتدلى العمود تحت الأرضية ويُحسب سالبًا، لذا فالتكامل المزدوج حجم بإشارته.

يحوّل أخذ المقاطع التكامل المزدوج إلى تكاملين عاديين. لمقاطع ⁦x⁩، يكون القاطع الأزرق هو المستوى ⁦x = s⁩. مقطعه هو اللوح الأزرق، ومساحة اللوح بإشارتها $A(s)$ تكامل عادي بالنسبة إلى ⁦y⁩. يرسم المخطط أسفل العرض ⁦A⁩ مقابل موضع القاطع. عند إيقاف الأعمدة، تكون المساحة ذات الإشارة المظللة بالأصفر حتى القاطع هي الحجم الممسوح حتى الآن، وتكون المساحة ذات الإشارة على المجال كله هي التكامل المزدوج. هذا هو التكامل المتكرر. عندما يكون كل مقطع للمنطقة ⁦R⁩ فترة واحدة، يُكتب هكذا:

الحدود الداخلية هي مواضع دخول القاطع إلى ⁦R⁩ وخروجه منها، أي النقاط الزرقاء على الأرضية. على المثلث $0 \le y \le x \le 2$، يمتد المقطع عند ⁦x⁩ من ⁦y = 0⁩ إلى ⁦y = x⁩، لذا يكون التكامل الداخلي $\int_0^x$: الحد العلوي يعتمد على ⁦x⁩. وعلى الحلقة $1 \le x^2 + y^2 \le 4$ يعبر القاطع الذي يحقق $|x| < 1$ الثقب، فينقسم المقطع إلى جزأين، ويصبح التكامل الداخلي مجموع تكاملين، واحد لكل جزء.

تغيير الترتيب يعني قراءة الحدود من المنطقة من جديد، لا مجرد تبديلها. على المثلث نفسه، يمتد المقطع عند ⁦y⁩ ثابتة من ⁦x = y⁩ إلى ⁦x = 2⁩، لذا

يعرض خيار الترتيبان معًا مساحتي المقطع جنبًا إلى جنب. هما دالتان مختلفتان: تواصل $A(x) = x + x^2/2$ الزيادة، بينما تزيد $B(y) = (1 + y)(2 - y)$ ثم تنقص، لكن المساحتين تحت الرسمين متساويتان. يعطي مجموع عدد منتهٍ من الأعمدة النتيجة نفسها سواء جُمعت صفًا صفًا أو عمودًا عمودًا؛ والتكاملان المتكرران هما ما تؤول إليه هاتان الطريقتان مع دقة الشبكة. إذا كانت ⁦f⁩ متصلة على منطقة مغلقة ومحدودة تتكون حدودها من عدد منتهٍ من المنحنيات الملساء، فإن كلا الترتيبين يعطي التكامل المزدوج. هذه مبرهنة فوبيني، وتحقق كل الأمثلة الجاهزة في الصفحة شروطها.

أحيانًا لا يمكن الحساب بالدوال الابتدائية إلا بترتيب واحد. فوق المثلث $0 \le x \le y \le 1$، يترك تثبيت ⁦x⁩ التكامل $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$، ولا توجد دالة أصلية ابتدائية لـ$e^{y^2}$. عند تثبيت ⁦y⁩ بدلًا منه، يكون كل مقطع مستطيلًا عرضه ⁦y⁩ وارتفاعه $e^{y^2}$، ويكون الحجم $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$.