二重積分

領域R上にn × nの格子を置き、中心がRに入る各マスに、その中心でのfを高さとする柱を立てます。柱の体積の和$\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$はリーマン和です。格子を細かくすると、和は1つの数、二重積分$\iint_R f\,dA$に近づきます。fが負の場所では柱が床の下に伸び、負として数えるので、二重積分は符号付き体積になります。

断面で切ると、二重積分を2つの普通の積分にできます。xを固定する場合、青い切断面は平面x = sです。その切り口が青い板で、板の符号付き面積$A(s)$はyについての普通の積分です。下のグラフには、切断面の位置に対するAを描きます。小さな柱をオフにすると、切断面まで黄色く塗られた符号付き面積が、ここまで掃いた体積を表します。全区間の符号付き面積が二重積分です。これを累次積分といいます。Rの各断面が1つの区間なら、次のように書けます。

内側の積分区間は、切断面がRに入る位置と出る位置、つまり床の上の青い点で決まります。三角形$0 \le y \le x \le 2$では、xを固定した断面はy = 0からy = xまで広がるので、内側の積分は$\int_0^x$です。上端はxに依存します。円環$1 \le x^2 + y^2 \le 4$では、$|x| < 1$を満たす切断面は穴を通り、切り口が2つに分かれます。そのため内側の積分も、それぞれの部分を表す2つの積分の和になります。

積分順序を変えるには、上下端を単に入れ替えるのでなく、領域から読み直します。同じ三角形でyを固定すると、断面はx = yからx = 2まで広がるので、

両方の順序を選ぶと、2通りの断面積を並べて表示します。これらは別の関数で、$A(x) = x + x^2/2$は増え続け、$B(y) = (1 + y)(2 - y)$は増えたあと減ります。それでも、グラフの下の面積は一致します。有限個の柱の和は、行ごとに足しても列ごとに足しても同じです。格子を細かくした極限が、この2通りの累次積分になります。fが、境界を有限本の滑らかな曲線で表せる有界な閉領域上で連続なら、どちらの順序でも二重積分が得られます。これがフビニの定理で、このページのすべての設定はその条件を満たします。

初等関数で計算できる順序が片方だけの場合もあります。三角形$0 \le x \le y \le 1$上でxを固定すると$\int_x^1 e^{y^2}\,dy$が残りますが、$e^{y^2}$には初等関数で表せる原始関数がありません。代わりにyを固定すると、各断面は幅y、高さ$e^{y^2}$の長方形になり、体積は$\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$です。