等高線図

関数$f(x, y)$の等位曲線、すなわち等高線は、$f$がある1つの値$c$をとる点の集合です。曲面$z = f(x, y)$では、高さ$c$にある点にあたります。等高線図は、一定の高さ間隔で選んだ等位曲線を地面に描いたものです。地形図が丘を表すのと同じ仕組みです。

曲面は正方形の地図の上にガラスのように描かれ、3軸の縮尺はすべて同じです。その下の地面には等高線図があります。水位を高さ$c$にすると、$c$より低い点はすべて水の下になります。曲面と地図に青で描かれた水際は等位曲線$f = c$なので、等高線図はさまざまな水位の水際を重ねたものといえます。ここでの水は高さのしきい値を示すもので、実際の浸水を再現しているわけではありません。他の水域から遠く離れたくぼみでも、底が$c$より低くなった時点で湖になります。

$c$が上がっても、ふつう水際は位置や形が変わるだけです。地図の内側でつながり方が変わるのは、$\nabla f = 0$となる臨界点の高さと、勾配そのものが存在しない円錐の先端の高さだけです。くぼみの底を少し超えると湖が現れます。峠、つまり鞍点では、2つの水際が接したり、1つの島が2つに分かれたりします。山頂では、島が1点まで縮んで消えます。図の横の目盛りは、これらの高さを示しています。

地図は、より広い地形の一部を切り取ったものです。そのため、このページでは地図の内側に収まる湖と島だけを数えます。端に届く水域は外海、端に届く陸地は大陸として扱います。したがって、水際が地図の端に達する高さでも個数は変わりえます。その高さは、目盛り上に記号のない破線で示しています。

鞍点を通る等位曲線は、その点で自分自身と交差します。鞍形の曲面$f = \tfrac14(x^2 - y^2)$では、等位曲線$f = 0$は2本の直線$y = \pm x$です。水位が0より低いと水は2つの谷にあり、0で水際が鞍点に接し、0より高くなると1つの水面につながります。異なる高さの等高線が交わることはありません。1つの点の高さは1つしかないからです。

隣り合う等高線の高さの差は$\Delta c$です。そのため、線が近いところでは短い距離で高さが$\Delta c$上がります。$\nabla f \ne 0$で、隣り合う等高線が近いところでは、等高線に直角に測った間隔はおよそ

断面ウィンドウは、AからBへの経路に沿った高さを、両軸で同じ縮尺を使って描きます。経路が等高線を横切るたびに目盛りを付け、最も急な点を黄色で示します。経路が上り続ける、または下り続ける区間では、目盛りが密なほど断面の傾きが急です。

線だけでは、どちらが上りかはわかりません。$f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$では、$(1, 0)$と$(-1, 0)$の周りの輪は同じ形ですが、一方は丘、もう一方はくぼみです。地図には高さの数値や、水のような別の手がかりが必要です。