등고선 지도

함수 $f(x, y)$의 등위곡선, 즉 등고선은 $f$의 값이 하나의 값 $c$와 같은 점들의 집합입니다. 곡면 $z = f(x, y)$에서는 높이가 $c$인 점들에 해당합니다. 등고선 지도는 일정한 높이 간격의 등위곡선을 바닥에 그린 것으로, 지형도가 언덕을 나타내는 방식과 같습니다.

곡면은 정사각형 지도 위에 유리처럼 그려지며, 세 축의 축척은 같습니다. 그 아래 바닥에는 등고선 지도가 놓입니다. 물높이를 $c$까지 올리면 $c$보다 낮은 모든 점이 물에 잠깁니다. 곡면과 지도에 파란색으로 그린 물가는 등위곡선 $f = c$입니다. 따라서 등고선 지도는 여러 높이의 물가를 겹쳐 놓은 것입니다. 여기서 물은 높이 기준을 나타내며, 실제로 물이 흘러 들어오는 과정을 재현하지는 않습니다. 다른 물에서 멀리 떨어진 웅덩이라도 바닥이 $c$보다 낮아지는 순간 호수가 됩니다.

$c$의 값이 올라가도 물가는 대부분 위치와 모양만 바뀝니다. 지도 내부에서 연결 방식이 바뀌는 높이는 $\nabla f = 0$인 임계점의 높이와 기울기 벡터 자체가 없는 원뿔 꼭짓점의 높이뿐입니다. 웅덩이 바닥보다 조금 높아지면 호수가 생깁니다. 고개, 즉 안장점에서는 두 물가가 만나거나 한 섬이 둘로 갈라집니다. 정상에서는 섬이 한 점으로 줄어들었다가 사라집니다. 화면 옆 눈금자가 이 높이들을 표시합니다.

지도는 더 넓은 지형의 일부를 잘라 보여 줍니다. 따라서 이 페이지에서는 지도 안에 온전히 들어 있는 호수와 섬만 셉니다. 가장자리에 닿는 물은 외해로, 가장자리에 닿는 땅은 본토로 취급합니다. 물가가 가장자리에 닿을 때에도 개수가 바뀔 수 있는 이유입니다. 눈금자에는 이런 높이를 기호 없이 점선 눈금으로 표시합니다.

안장점을 지나는 등위곡선은 그 점에서 자기 자신과 교차합니다. 안장형 곡면 $f = \tfrac14(x^2 - y^2)$에서 등위곡선 $f = 0$은 두 직선 $y = \pm x$입니다. 0보다 낮으면 물은 두 골짜기에 있고, 0에서는 두 물가가 안장점에서 닿으며, 0보다 높아지면 하나의 수면으로 이어집니다. 높이가 다른 등고선은 만나지 않습니다. 한 점의 높이는 하나뿐이기 때문입니다.

이웃한 등고선의 높이 차이는 $\Delta c$입니다. 따라서 선이 가까운 곳에서는 짧은 거리를 가는 동안 높이가 $\Delta c$만큼 올라갑니다. $\nabla f \ne 0$이고 이웃한 등고선들이 가까울 때, 등고선에 직각으로 잰 간격은 대략

단면 창은 A에서 B까지의 경로를 따른 높이를 두 축의 축척이 같도록 그립니다. 경로가 등고선을 지날 때마다 눈금을 표시하고, 가장 가파른 점은 노란색으로 나타냅니다. 경로가 계속 오르거나 계속 내려가는 구간에서는 눈금이 촘촘할수록 단면의 경사가 가파릅니다.

선만으로는 어느 쪽이 위인지 알 수 없습니다. $f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$에서 $(1, 0)$과 $(-1, 0)$ 주위의 고리는 모양이 같지만, 하나는 언덕이고 다른 하나는 웅덩이입니다. 지도에는 높이를 적어 놓거나 물처럼 다른 단서를 더해야 합니다.