Карта линий уровня

Линия уровня функции $f(x, y)$ — множество точек, где $f$ принимает одно значение $c$. На поверхности $z = f(x, y)$ это точки высоты $c$. Карта линий уровня изображает на земле линии для равноотстоящих высот, как топографическая карта изображает холмы.

Поверхность показана стеклянной над квадратной картой, с одинаковым масштабом по трём осям; её карта линий уровня лежит на плоскости внизу. Поднимите воду до $c$, и каждая точка ниже $c$ окажется под водой. Берег, показанный синим на поверхности и карте, — линия уровня $f = c$, так что карта состоит из набора береговых линий. Вода задаёт порог высоты, а не моделирует наводнение: даже далёкая от другой воды впадина становится озером, как только её дно ниже $c$.

По мере роста $c$ берег обычно просто перемещается и меняет форму. Внутри карты его связность меняется только на высотах критических точек, где $\nabla f = 0$, и на острие конуса, где градиента вообще нет. Чуть выше дна впадины появляется озеро. На перевале, или в седловой точке, два берега соединяются либо один остров делится на два. На вершине остров сжимается в точку и исчезает. Линейка рядом отмечает эти высоты.

Карта — окно в более обширный ландшафт, поэтому страница считает только озёра и острова, целиком лежащие внутри неё. Вода, достигающая края, считается открытым морем, а суша — материком. Поэтому счётчики могут меняться и там, где берег встречает край карты. На линейке эти высоты отмечены пунктирной риской без символа.

Линия уровня через седловую точку пересекает сама себя в ней. Для седла $f = \tfrac14(x^2 - y^2)$ линия $f = 0$ — пара прямых $y = \pm x$. Ниже 0 вода лежит в двух долинах, на уровне 0 их берега касаются в седловине, а выше 0 вода образует единую область. Линии разных высот никогда не встречаются: у точки только одна высота.

Соседние линии различаются по высоте на $\Delta c$, поэтому там, где они близки, поверхность поднимается на $\Delta c$ за короткий путь. Если $\nabla f \ne 0$ и соседние линии близки, расстояние между ними по перпендикуляру примерно равно

Окно Профиль показывает высоту вдоль маршрута от A до B с одинаковым масштабом по обеим осям. Каждое пересечение линии уровня отмечено риской, а самая крутая точка — жёлтым. На участке непрерывного подъёма или спуска близкие риски означают более крутой профиль.

Сами линии не говорят, в какую сторону поднимается склон. Для $f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$ кольца вокруг $(1, 0)$ и $(-1, 0)$ имеют одинаковую форму, но одно окружает холм, другое — впадину. Карте нужны отметки высот или другая подсказка, например вода.