Carte de niveaux

Une courbe de niveau d’une fonction $f(x, y)$ est l’ensemble des points où $f$ prend une même valeur $c$. Sur la surface $z = f(x, y)$, ce sont les points à la hauteur $c$. Une carte de niveaux trace au sol les courbes correspondant à des hauteurs régulièrement espacées, comme une carte topographique représente les collines.

La surface est représentée en verre au-dessus d’une carte carrée, avec la même échelle sur les trois axes, et sa carte de niveaux se trouve au sol. Faites monter l’eau à la hauteur $c$ : tout point plus bas que $c$ est immergé. Le rivage, tracé en bleu sur la surface et sur la carte, est la courbe de niveau $f = c$ ; une carte de niveaux est donc un empilement de rivages. L’eau représente un seuil, pas une inondation : un creux éloigné de toute autre étendue d’eau devient déjà un lac dès que son fond est sous $c$.

Quand $c$ augmente, le rivage se déplace et change de forme la plupart du temps. À l’intérieur de la carte, ses connexions ne changent qu’aux hauteurs des points critiques, où $\nabla f = 0$, et à la pointe du cône, où le gradient n’existe pas. Juste au-dessus du fond d’un creux, un lac apparaît. À un col, ou point selle, deux rivages se rejoignent ou une île se sépare en deux. À un sommet, une île se réduit à un point puis disparaît. La règle à côté de la vue repère ces hauteurs.

La carte est une fenêtre sur un paysage plus vaste ; la page ne compte donc que les lacs et les îles entièrement à l’intérieur. L’eau qui atteint le bord est la pleine mer, et la terre qui l’atteint est le continent. Les nombres peuvent donc aussi changer lorsque le rivage rencontre le bord. La règle repère ces hauteurs par un trait discontinu, sans symbole.

Une courbe de niveau passant par un point selle s’y croise elle-même. Sur la selle $f = \tfrac14(x^2 - y^2)$, la courbe de niveau $f = 0$ est la paire de droites $y = \pm x$. En dessous de 0, l’eau occupe deux vallées ; à 0, leurs rivages se touchent au point selle ; au-dessus de 0, elle forme une seule étendue. Des courbes de hauteurs différentes ne se rencontrent jamais, car un point n’a qu’une hauteur.

Deux courbes voisines diffèrent en hauteur de $\Delta c$ ; là où elles sont proches, le terrain s’élève donc de $\Delta c$ sur une courte distance. Lorsque $\nabla f \ne 0$ et que les courbes voisines sont proches, l’écart mesuré perpendiculairement aux courbes vaut environ

La fenêtre Profil trace la hauteur le long d’un trajet de A à B, à la même échelle sur les deux axes, avec un repère à chaque courbe de niveau traversée et le point le plus raide en jaune. Sur un tronçon où le trajet ne cesse de monter ou de descendre, des repères plus proches indiquent un profil plus raide.

Les lignes seules ne disent pas dans quel sens le terrain monte. Sur $f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$, les anneaux autour de $(1, 0)$ et de $(-1, 0)$ ont la même forme, mais l’un entoure une colline et l’autre un creux. Il faut inscrire les hauteurs sur la carte, ou fournir un autre indice comme l’eau.