Critère des dérivées secondes

En un point critique P d’une fonction $f(x, y)$, les deux dérivées partielles premières sont nulles et le plan tangent est horizontal. Le critère des dérivées secondes détermine le type de point à partir des dérivées secondes $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$ et $C = f_{yy}$, grâce au discriminant $D = AC - B^2$, déterminant de la matrice hessienne. Si f possède des dérivées partielles secondes continues au voisinage de P :

La page coupe une surface par un plan vertical passant par un point critique P, dans une direction θ quelconque. La surface est une forme quadratique dont vous réglez les dérivées secondes, ou l’une de plusieurs autres fonctions. La façon dont la coupe s’incurve en P est mesurée par la dérivée seconde dans cette direction, $f_{uu}$. La rose des directions autour de P est pleine là où les coupes s’incurvent vers le haut et hachurée là où elles s’incurvent vers le bas. Le critère porte sur toutes ces coupes à la fois.

Lorsque θ effectue un demi-tour, la dérivée seconde décrit une onde complète autour de sa ligne médiane $m = \tfrac12(A + C)$, d’amplitude s, tracée dans le petit graphique. Ses valeurs maximale et minimale, $\lambda_1 = m + s$ et $\lambda_2 = m - s$, correspondent à deux directions perpendiculaires et sont les valeurs propres de la Hessienne. Leur produit donne $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$. Ainsi, $D > 0$ signifie que l’onde n’atteint jamais zéro. Toutes les coupes s’incurvent dans le même sens et P est un minimum ou un maximum. N’importe quelle coupe permet alors de savoir lequel ; $f_{xx}$ est simplement la dérivée seconde selon x. $D < 0$ signifie que l’onde traverse zéro : certaines coupes s’incurvent vers le haut, d’autres vers le bas, et P est un point selle.

Voilà pourquoi $f_{xx} > 0$ et $f_{yy} > 0$ ne suffisent pas. Le terme croisé $f_{xy}$ écarte les pics de l’onde des axes et augmente son amplitude sans déplacer sa ligne médiane. Dès que $|f_{xy}|$ est assez grand, une coupe diagonale s’incurve vers le bas alors que les deux coupes selon les axes s’incurvent vers le haut : le bol est devenu une selle.

Lorsque $D < 0$, la dérivée seconde s’annule dans exactement deux directions, là où l’onde traverse zéro ; la rose des directions les trace comme des droites traversant le disque. Ce sont les tangentes à la courbe de niveau passant par P, qui s’y croise elle-même. C’est le X qu’un point selle forme sur une carte de niveaux.

Lorsque $D = 0$, l’onde touche zéro ou y reste, donc le terme du second ordre s’annule dans au moins une direction et le critère ne permet pas de conclure. $x^2 - y^4$ et $x^2 + y^4$ ont les mêmes dérivées secondes à l’origine, mais selon y, la première fonction descend comme $-t^4$ et la seconde monte comme $t^4$ : l’une a donc un point selle et l’autre un minimum. Sur la selle de singe $x^3 - 3xy^2$, toutes les dérivées secondes sont nulles à l’origine, et la surface monte dans trois directions et descend dans trois autres. « Le critère ne permet pas de conclure » ne signifie pas « pas d’extremum ».

En un point critique, les termes du premier ordre s’annulent : près de P, la fonction est donc proche de son polynôme de Taylor d’ordre deux, égal à f(P) plus une forme quadratique. L’option Approximation quadratique le trace au-dessus du disque. Lorsque $D > 0$, assez près de P, le terme quadratique domine le reste dans toutes les directions ; P est donc un minimum ou un maximum, comme pour l’approximation. Lorsque $D < 0$, il domine encore dans les directions où l’approximation s’incurve vers le haut ou vers le bas ; f monte donc dans certaines directions et descend dans d’autres : une selle.