İkinci kısmi türev testi

$f(x, y)$ fonksiyonunun P kritik noktasında, her iki birinci kısmi türev sıfırdır ve teğet düzlem yataydır. İkinci kısmi türev testi, $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$ ve $C = f_{yy}$ ikinci türevlerinden, Hessian matrisinin determinantı olan $D = AC - B^2$ diskriminantı aracılığıyla noktanın türünü belirler. f’nin ikinci kısmi türevleri P yakınında sürekliyse:

Sayfa, bir yüzeyi kritik nokta P’den herhangi bir θ yönünde geçen dikey kesitle keser. Yüzey, ikinci türevlerini sizin belirlediğiniz bir kuadratik form ya da diğer birkaç fonksiyondan biridir. Kesitin P’de ne kadar büküldüğü, o yöndeki ikinci türev $f_{uu}$ ile verilir. P çevresindeki yön ölçeğinde yukarı bükülen kesitlerin yönleri dolu, aşağı bükülenler taralıdır. Test, bütün bu kesitler hakkında aynı anda bir şey söyler.

θ yarım tur dönerken bükülme, $m = \tfrac12(A + C)$ orta çizgisi etrafında s genliğiyle tam bir dalga oluşturur; bu dalga küçük grafikte çizilir. En büyük ve en küçük değerleri $\lambda_1 = m + s$ ve $\lambda_2 = m - s$, birbirine dik iki yönde ortaya çıkar ve Hessian matrisinin özdeğerleridir. Çarpımları $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$ verir. Dolayısıyla $D > 0$, dalganın sıfıra hiç ulaşmaması demektir. Bütün kesitler aynı tarafa bükülür ve P minimum ya da maksimumdur. Hangisi olduğunu herhangi bir kesit söyler; $f_{xx}$ de yalnızca x yönündeki bükülmedir. $D < 0$, dalganın sıfırı kesmesi demektir: bazı kesitler yukarı, bazıları aşağı bükülür ve P bir eyer noktasıdır.

Bu nedenle $f_{xx} > 0$ ve $f_{yy} > 0$ yeterli değildir. Çapraz terim $f_{xy}$, dalganın tepelerini eksenlerden uzaklaştırır ve orta çizgisini değiştirmeden dalgayı büyütür. $|f_{xy}|$ yeterince büyük olduğunda, iki eksen kesiti yukarı bükülse de çapraz bir kesit aşağı bükülür; çanak eyere dönüşmüştür.

$D < 0$ olduğunda bükülme, dalganın sıfırı kestiği tam iki yönde sıfırdır; yön ölçeği bunları disk boyunca uzanan doğrular olarak çizer. Bunlar, P’den geçen ve orada kendini kesen seviye eğrisinin teğetleridir. Bir eyer noktasının eş yükselti haritasında oluşturduğu X budur.

$D = 0$ olduğunda dalga sıfıra değer ya da sıfır çizgisi üzerindedir; dolayısıyla bazı yönlerde ikinci dereceden terim sıfır olur ve test karar veremez. $x^2 - y^4$ ile $x^2 + y^4$ orijinde aynı ikinci türevlere sahiptir; ancak y boyunca ilki $-t^4$ gibi alçalır, ikincisi $t^4$ gibi yükselir. Bu yüzden biri eyer, diğeri minimumdur. $x^3 - 3xy^2$ maymun eyerinde orijindeki bütün ikinci türevler sıfırdır; yüzey üç yönde yükselir, üç yönde alçalır. “Test karar veremez”, “ekstremum yok” demek değildir.

Kritik noktada birinci dereceden terimler sıfır olur; dolayısıyla P yakınında fonksiyon, f(P) ile bir kuadratik formun toplamı olan ikinci dereceden Taylor polinomuna yakındır. Kuadratik yaklaşım bunu disk üzerinde çizer. $D > 0$ olduğunda, P’ye yeterince yakınken kuadratik terim her yönde kalan terime baskın gelir; bu yüzden P, yaklaşımda olduğu gibi minimum veya maksimumdur. $D < 0$ olduğunda da yukarı ve aşağı büküldüğü yönlerde baskın kalır; böylece f bazı yönlerde yükselir, bazılarında alçalır: eyer.