Lagrange çarpanı

Amaç, nokta serbestçe hareket edemeyip $g(x, y) = c$ kısıt eğrisinde kalmak zorundayken $f(x, y)$ fonksiyonunun en büyük veya en küçük değerini bulmaktır. Lagrange çarpanları yöntemi nereye bakılacağını söyler. $f$ ve $g$ fonksiyonlarının eğri üzerindeki bir P noktasının yakınında sürekli birinci kısmi türevleri olduğunu, eğriye kısıtlanan $f$ fonksiyonunun P’de yerel maksimum veya minimum aldığını ve $\nabla g(P) \neq 0$ olduğunu varsayalım. O hâlde Lagrange çarpanı denen bir $\lambda$ sayısı vardır ve

Bunlar x, y ve $\lambda$ için üç denklemdir. Çözümleri kesin cevap değil, adaydır: her biri yine de incelenmeli, $\nabla g = 0$ olan noktalar ayrıca ele alınmalıdır.

Harita, $f$ fonksiyonunun eş yükselti eğrilerini, kalın çizilmiş kısıt eğrisini ve üzerindeki P noktasını gösterir. P’deki mavi ok $\nabla f$’tir; içi boş ok $\nabla g$ yönünü gösterir. $\nabla f$, eğri boyunca sarı bir bileşene ve eğriye dik kesikli bir bileşene ayrılır. Haritanın altındaki profil, $f$ değerini eğri boyunca yürünülen mesafeye göre gösterir.

Neden işe yarar? Eğri boyunca $g$ değişmez; dolayısıyla eğrinin birim teğet vektörü $T$, $\nabla g$ vektörüne diktir. Eğri boyunca birim hızla yürürken $f$, $\nabla f\cdot T$ hızıyla değişir; bu, profilin P’deki eğimidir ve sarı ok $(\nabla f\cdot T)\,T$ ile verilir. Profilin $\nabla g \neq 0$ koşulunu sağlayan en yüksek veya en düşük noktasında bu eğim sıfırdır; dolayısıyla $\nabla f$ vektörünün eğri boyunca bileşeni yoktur. Düzlemde böyle bir vektör $\nabla g$ vektörünün katıdır, yani $\nabla f = \lambda\nabla g$ olur; $\nabla f = 0$ ise $\lambda = 0$ olur. Sarı ok sıfır değilse gösterdiği yönde yürümek $f$ değerini hâlâ artırır; bu nedenle P orada maksimum veya minimum olamaz.

Ayrıca $\nabla f(P) \neq 0$ ise, P’den geçen $f$ eş yükselti eğrisi $\nabla f$ vektörüne diktir; bu yüzden kısıt eğrisiyle aynı teğete sahiptir. Kısıtlı maksimum veya minimumda kısıt eğrisi bir eş yükselti eğrisini kesmek yerine ona teğet olur.

$\lambda$ çarpanının kendine özgü bir anlamı da vardır. $g = c$ eğrisi üzerindeki en iyi değeri $f^*(c)$ ile gösterelim. Bu değeri alan bir nokta, $c$ değişirken düzgün biçimde hareket ediyorsa $\lambda$, en iyi değerin değişim hızıdır:

$x^2 + y^2 = c$ çemberinde $xy$ ifadesinin en büyük değeri $c/2$’dir ve her iki maksimumda $\lambda = 1/2$ olur. λ penceresi, bu eğimle $f^*$ değerini $c$’ye göre gösterir. Hız, kısıtın nasıl yazıldığına bağlıdır. $C = 2c$ olmak üzere $2g = C$ yazılırsa, aynı eğrinin çarpanı yarıya iner; çünkü artık C’deki birim değişim başına değişimi ölçer. 2g olarak yaz bunu gösterir.

İki eğri yöntemin sınırlarını gösterir. $y - x^3 = c$ üzerinde $f = y$ fonksiyonunun $(0, c)$ noktasında gradyanları paraleldir; ancak eğri boyunca $f = x^3 + c$ orada yalnızca yataylaşır ve yükselmeyi sürdürür. Paralel gradyanlar yeterli değildir. $y^2 - x^3 = 0$ üzerinde $f = x$ fonksiyonunun en küçük değeri $(0, 0)$ sivri ucundadır; burada $\nabla g = (0, 0)$ olduğundan $\nabla f = \lambda\nabla g$ denkleminin çözümü yoktur. Yöntem bu noktayı kaçırır; böyle noktalar ayrıca incelenmelidir.

Bir adayın maksimum mu, minimum mu, yoksa hiçbiri mi olduğu profilde görülür. Eğri üzerindeki yerel maksimumda profil yükselip alçalır, yerel minimumda alçalıp yükselir; kübik eğrinin aday noktasında ise yükselmeyi sürdürür.