Moltiplicatore di Lagrange

Il problema è trovare il valore massimo o minimo di una funzione $f(x, y)$ quando il punto non è libero, ma deve rimanere su una curva: il vincolo $g(x, y) = c$. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange indica dove cercare. Supponiamo che $f$ e $g$ abbiano derivate parziali prime continue vicino a un punto P della curva, che la restrizione di $f$ alla curva abbia un massimo o minimo locale in P e che $\nabla g(P) \neq 0$. Allora esiste un numero $\lambda$, il moltiplicatore di Lagrange, tale che

Sono tre equazioni in x, y e $\lambda$. Le loro soluzioni sono candidati, non risposte: ciascuna va ancora verificata, e i punti dove $\nabla g = 0$ devono essere esaminati separatamente.

La mappa mostra le curve di livello di $f$, la curva del vincolo con un tratto spesso e un punto P su di essa. In P, la freccia blu è $\nabla f$, la freccia vuota indica la direzione di $\nabla g$ e $\nabla f$ è scomposto in una componente gialla lungo la curva e una tratteggiata perpendicolare a essa. Sotto la mappa, il profilo traccia $f$ in funzione della distanza percorsa lungo la curva.

Perché funziona? Lungo la curva $g$ non cambia, quindi il vettore tangente unitario $T$ è perpendicolare a $\nabla g$. Percorrendo la curva a velocità unitaria, $f$ varia al tasso $\nabla f\cdot T$, che è la pendenza del profilo in P, e la freccia gialla è $(\nabla f\cdot T)\,T$. In un punto più alto o più basso del profilo dove $\nabla g \neq 0$, questa pendenza è zero, quindi $\nabla f$ non ha componente lungo la curva. Nel piano, un vettore senza componente lungo la curva è un multiplo di $\nabla g$, perciò $\nabla f = \lambda\nabla g$, con $\lambda = 0$ se $\nabla f = 0$. Ovunque la freccia gialla sia diversa da zero, avanzare nel suo verso fa ancora aumentare $f$, quindi P non può essere un massimo o un minimo.

Se inoltre $\nabla f(P) \neq 0$, la curva di livello di $f$ passante per P è perpendicolare a $\nabla f$, quindi ha la stessa tangente del vincolo. In un massimo o minimo vincolato, il vincolo è tangente a una curva di livello anziché tagliarla trasversalmente.

$\lambda$ ha un significato proprio. Indichiamo con $f^*(c)$ il valore ottimale sulla curva $g = c$. Se un punto che raggiunge tale valore si sposta in modo liscio al variare di $c$, allora $\lambda$ è il tasso di variazione del valore ottimale:

Sulla circonferenza $x^2 + y^2 = c$, il valore massimo di $xy$ è $c/2$, e $\lambda = 1/2$ in entrambi i massimi. La finestra λ traccia $f^*$ in funzione di $c$ con questa pendenza. Il tasso dipende da come si scrive il vincolo. Scritto come $2g = C$ con $C = 2c$, la stessa curva ha un moltiplicatore dimezzato, perché ora misura la variazione per unità di C. L’opzione Scrivi come 2g lo mostra.

Due curve mostrano i limiti del metodo. Su $y - x^3 = c$, la funzione $f = y$ dà gradienti paralleli in $(0, c)$, eppure lungo la curva $f = x^3 + c$ si appiattisce soltanto in quel punto e continua a salire. Gradienti paralleli non bastano. Su $y^2 - x^3 = 0$, il valore minimo di $f = x$ si ha nella cuspide $(0, 0)$, dove $\nabla g = (0, 0)$ e l’equazione $\nabla f = \lambda\nabla g$ non ha soluzione. Il metodo non individua questo punto, perciò casi del genere vanno controllati direttamente.

Il profilo mostra se un candidato è un massimo, un minimo o nessuno dei due. Sale e poi scende in un massimo locale sulla curva, scende e poi sale in un minimo locale, e continua a salire nel punto candidato della cubica.