Pengali Lagrange

Masalahnya adalah mencari nilai terbesar atau terkecil fungsi $f(x, y)$ ketika titik tidak bebas bergerak, melainkan harus tetap pada kurva kendala $g(x, y) = c$. Metode pengali Lagrange menunjukkan tempat mencarinya. Misalkan $f$ dan $g$ memiliki turunan parsial pertama yang kontinu di sekitar titik P pada kurva, $f$ yang dibatasi pada kurva memiliki maksimum atau minimum lokal di P, dan $\nabla g(P) \neq 0$. Maka ada bilangan $\lambda$, yaitu pengali Lagrange, yang memenuhi

Ini adalah tiga persamaan untuk x, y, dan $\lambda$. Solusinya merupakan kandidat, belum tentu jawaban: masing-masing tetap perlu diperiksa, dan titik dengan $\nabla g = 0$ harus ditinjau secara terpisah.

Peta menampilkan kontur $f$, kurva kendala dengan garis tebal, dan titik P di atasnya. Di P, panah biru adalah $\nabla f$, panah kosong menunjukkan arah $\nabla g$, dan $\nabla f$ diuraikan menjadi komponen kuning sepanjang kurva serta komponen putus-putus yang tegak lurus kurva. Di bawah peta, profil menggambarkan $f$ terhadap jarak yang ditempuh sepanjang kurva.

Mengapa metode ini bekerja? Sepanjang kurva, $g$ tidak berubah, sehingga vektor singgung satuan $T$ pada kurva tegak lurus terhadap $\nabla g$. Saat berjalan sepanjang kurva dengan kelajuan satu satuan, $f$ berubah dengan laju $\nabla f\cdot T$, yaitu kemiringan profil di P, dan panah kuning adalah $(\nabla f\cdot T)\,T$. Pada titik tertinggi atau terendah profil yang memenuhi $\nabla g \neq 0$, kemiringan ini nol, sehingga $\nabla f$ tidak memiliki komponen sepanjang kurva. Di bidang, vektor tanpa komponen sepanjang kurva merupakan kelipatan $\nabla g$, jadi $\nabla f = \lambda\nabla g$, dengan $\lambda = 0$ jika $\nabla f = 0$. Di mana pun panah kuning tidak nol, berjalan ke arah panah masih menaikkan $f$, sehingga P di sana tidak mungkin menjadi maksimum atau minimum.

Jika juga $\nabla f(P) \neq 0$, kontur $f$ yang melalui P tegak lurus terhadap $\nabla f$, sehingga garis singgungnya sama dengan garis singgung kurva kendala. Pada maksimum atau minimum berkendala, kurva kendala menyinggung kontur alih-alih memotongnya.

$\lambda$ memiliki makna tersendiri. Nyatakan nilai terbaik pada kurva $g = c$ dengan $f^*(c)$. Jika suatu titik yang mencapai nilai tersebut bergerak mulus ketika $c$ berubah, maka $\lambda$ adalah laju perubahan nilai terbaik:

Pada lingkaran $x^2 + y^2 = c$, nilai terbesar $xy$ adalah $c/2$, dan $\lambda = 1/2$ pada kedua maksimum. Jendela λ menggambarkan $f^*$ terhadap $c$ dengan kemiringan ini. Lajunya bergantung pada cara kendala ditulis. Jika ditulis sebagai $2g = C$ dengan $C = 2c$, pengali untuk kurva yang sama menjadi setengahnya, karena kini mengukur perubahan per satu satuan C. Tulis sebagai 2g menunjukkan hal ini.

Dua kurva memperlihatkan batas metode ini. Pada $y - x^3 = c$, fungsi $f = y$ memiliki gradien yang sejajar di $(0, c)$, tetapi sepanjang kurva, $f = x^3 + c$ hanya mendatar sesaat di sana lalu terus naik. Gradien sejajar saja tidak cukup. Pada $y^2 - x^3 = 0$, nilai terkecil $f = x$ berada di puncak runcing $(0, 0)$, tempat $\nabla g = (0, 0)$ dan $\nabla f = \lambda\nabla g$ tidak memiliki solusi. Metode ini melewatkannya, sehingga titik seperti ini harus diperiksa secara terpisah.

Profil menunjukkan apakah suatu kandidat merupakan maksimum, minimum, atau bukan keduanya. Pada maksimum lokal di kurva, profil naik lalu turun; pada minimum lokal, turun lalu naik; sedangkan pada kandidat kurva kubik, profil terus naik.