Multiplicateur de Lagrange

Il s’agit de trouver la plus grande ou la plus petite valeur d’une fonction $f(x, y)$ lorsque le point n’est pas libre, mais doit rester sur une courbe, la contrainte $g(x, y) = c$. La méthode des multiplicateurs de Lagrange indique où chercher. Supposons que $f$ et $g$ aient des dérivées partielles premières continues au voisinage d’un point P de la courbe, que la restriction de $f$ à la courbe ait un maximum ou un minimum local en P, et que $\nabla g(P) \neq 0$. Il existe alors un nombre $\lambda$, le multiplicateur de Lagrange, tel que

Ce sont trois équations en x, y et $\lambda$. Leurs solutions sont des candidats, pas des réponses : chacune doit encore être vérifiée, et les points où $\nabla g = 0$ doivent être examinés séparément.

La carte montre les courbes de niveau de $f$, la courbe de contrainte en trait épais et un point P dessus. En P, la flèche bleue représente $\nabla f$, la flèche creuse indique la direction de $\nabla g$, et $\nabla f$ est décomposé en une composante jaune le long de la courbe et une composante en pointillés perpendiculaire à celle-ci. Sous la carte, le profil trace $f$ en fonction de la distance parcourue le long de la courbe.

Pourquoi cela fonctionne-t-il ? Le long de la courbe, $g$ ne varie pas : le vecteur tangent unitaire $T$ est donc perpendiculaire à $\nabla g$. Lorsqu’on parcourt la courbe à vitesse unité, $f$ varie au taux $\nabla f\cdot T$, qui est la pente du profil en P, et la flèche jaune est $(\nabla f\cdot T)\,T$. À un point le plus haut ou le plus bas du profil où $\nabla g \neq 0$, cette pente est nulle : $\nabla f$ n’a donc pas de composante le long de la courbe. Dans le plan, un vecteur sans composante le long de la courbe est un multiple de $\nabla g$, donc $\nabla f = \lambda\nabla g$, avec $\lambda = 0$ si $\nabla f = 0$. Partout où la flèche jaune n’est pas nulle, marcher dans son sens fait encore augmenter $f$ : P ne peut donc pas y être un maximum ou un minimum.

Si, de plus, $\nabla f(P) \neq 0$, la courbe de niveau de $f$ passant par P est perpendiculaire à $\nabla f$ ; elle a donc la même tangente que la contrainte. À un maximum ou minimum sous contrainte, la contrainte est tangente à une courbe de niveau au lieu de la couper transversalement.

$\lambda$ a une signification propre. Notons $f^*(c)$ la valeur optimale sur la courbe $g = c$. Si un point réalisant cette valeur se déplace de façon lisse lorsque $c$ varie, alors $\lambda$ est le taux de variation de la valeur optimale :

Sur le cercle $x^2 + y^2 = c$, la plus grande valeur de $xy$ est $c/2$, et $\lambda = 1/2$ aux deux maxima. La fenêtre λ trace $f^*$ en fonction de $c$ avec cette pente. Le taux dépend de l’écriture de la contrainte. Écrite sous la forme $2g = C$ avec $C = 2c$, la même courbe a un multiplicateur deux fois plus petit, car il mesure désormais la variation par unité de C. L’option Écrire sous la forme 2g le montre.

Deux courbes montrent les limites de la méthode. Sur $y - x^3 = c$, la fonction $f = y$ donne des gradients parallèles en $(0, c)$, mais le long de la courbe, $f = x^3 + c$ ne fait que s’aplatir à cet endroit puis continue à monter. Des gradients parallèles ne suffisent pas. Sur $y^2 - x^3 = 0$, la plus petite valeur de $f = x$ est atteinte au point de rebroussement $(0, 0)$, où $\nabla g = (0, 0)$, et l’équation $\nabla f = \lambda\nabla g$ n’a aucune solution. La méthode manque ce point ; il faut donc examiner ces points directement.

Le profil révèle si un candidat est un maximum, un minimum ou ni l’un ni l’autre. Il monte puis descend à un maximum local sur la courbe, descend puis monte à un minimum local, et continue à monter au point candidat de la cubique.