Multiplicador de Lagrange

El problema consiste en hallar el mayor o menor valor de una función $f(x, y)$ cuando el punto no puede moverse libremente, sino que debe permanecer en una curva: la restricción $g(x, y) = c$. El método de los multiplicadores de Lagrange indica dónde buscar. Supongamos que $f$ y $g$ tienen primeras derivadas parciales continuas cerca de un punto P de la curva, que $f$ restringida a la curva tiene un máximo o mínimo local en P y que $\nabla g(P) \neq 0$. Entonces existe un número $\lambda$, el multiplicador de Lagrange, tal que

Son tres ecuaciones para x, y y $\lambda$. Sus soluciones son candidatos, no respuestas: hay que comprobar cada una, y estudiar por separado los puntos donde $\nabla g = 0$.

El mapa muestra las curvas de nivel de $f$, la curva de restricción con un trazo grueso y un punto P sobre ella. En P, la flecha azul es $\nabla f$, la flecha hueca indica la dirección de $\nabla g$, y $\nabla f$ se descompone en una componente amarilla a lo largo de la curva y otra discontinua perpendicular a ella. Bajo el mapa, el perfil representa $f$ frente a la distancia recorrida por la curva.

¿Por qué funciona? A lo largo de la curva, $g$ no cambia, así que su vector tangente unitario $T$ es perpendicular a $\nabla g$. Al recorrer la curva a velocidad unidad, $f$ cambia a una tasa $\nabla f\cdot T$, que es la pendiente del perfil en P, y la flecha amarilla es $(\nabla f\cdot T)\,T$. En un punto más alto o más bajo del perfil donde $\nabla g \neq 0$, esa pendiente es cero, por lo que $\nabla f$ no tiene componente a lo largo de la curva. En el plano, un vector sin componente a lo largo de la curva es un múltiplo de $\nabla g$; por tanto, $\nabla f = \lambda\nabla g$, con $\lambda = 0$ si $\nabla f = 0$. Donde la flecha amarilla no es cero, avanzar en su sentido todavía aumenta $f$, así que P no puede ser allí un máximo ni un mínimo.

Si además $\nabla f(P) \neq 0$, la curva de nivel de $f$ que pasa por P es perpendicular a $\nabla f$, por lo que comparte tangente con la restricción. En un máximo o mínimo restringido, la restricción es tangente a una curva de nivel en vez de cortarla transversalmente.

$\lambda$ tiene un significado propio. Escribamos $f^*(c)$ para el valor óptimo en la curva $g = c$. Si un punto que alcanza ese valor se desplaza suavemente al cambiar $c$, entonces $\lambda$ es la tasa a la que cambia el valor óptimo:

En el círculo $x^2 + y^2 = c$, el mayor valor de $xy$ es $c/2$, y $\lambda = 1/2$ en ambos máximos. La ventana λ representa $f^*$ frente a $c$ con esa pendiente. La tasa depende de cómo se escriba la restricción. Escrita como $2g = C$ con $C = 2c$, la misma curva tiene la mitad del multiplicador, porque ahora mide el cambio por unidad de C. La opción Escribir como 2g lo muestra.

Dos curvas muestran los límites del método. En $y - x^3 = c$, la función $f = y$ da lugar a gradientes paralelos en $(0, c)$, pero, a lo largo de la curva, $f = x^3 + c$ solo se aplana allí y sigue creciendo. Los gradientes paralelos no bastan. En $y^2 - x^3 = 0$, el menor valor de $f = x$ se alcanza en la cúspide $(0, 0)$, donde $\nabla g = (0, 0)$ y la ecuación $\nabla f = \lambda\nabla g$ no tiene solución. El método no detecta ese punto, por lo que hay que examinar directamente esos casos.

El perfil revela si un candidato es un máximo, un mínimo o ninguno de los dos. Sube y luego baja en un máximo local de la curva, baja y luego sube en un mínimo local, y sigue subiendo en el candidato de la cúbica.