Integral doble

En una malla n × n sobre una región R, cada celda cuyo centro está en R lleva una columna de altura igual a f en ese centro. El volumen total de las columnas, $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$, es una suma de Riemann. Al refinar la malla, las sumas se acercan a un número: la integral doble $\iint_R f\,dA$. Donde f es negativa, una columna cuelga bajo el suelo y cuenta en negativo, de modo que la integral doble es un volumen con signo.

Cortar transforma la integral doble en dos integrales simples. Para los cortes con x fija, el plano azul es x = s. Su sección es el panel azul, cuya área con signo $A(s)$ es una integral simple en y. El gráfico bajo la vista representa A frente a la posición del plano. Con la opción Columnas desactivada, el área con signo sombreada en amarillo hasta el plano es el volumen barrido hasta ahora, y el área con signo de todo el intervalo es la integral doble. Esta es la integral iterada. Cuando cada sección de R es un solo intervalo, se escribe

Los límites interiores son los puntos donde el plano entra y sale de R, marcados en azul en el suelo. En el triángulo $0 \le y \le x \le 2$, el corte con x fija va de y = 0 a y = x, así que la integral interior es $\int_0^x$: el límite superior depende de x. En la corona circular $1 \le x^2 + y^2 \le 4$, un plano con $|x| < 1$ atraviesa el agujero, el corte se divide en dos partes y la integral interior se convierte en una suma de dos integrales, una por parte.

Cambiar el orden exige volver a leer los límites de la región, no intercambiarlos. En el mismo triángulo, un corte con y fija va de x = y a x = 2, así que

La opción Ambos órdenes muestra juntas las dos áreas de corte. Son funciones distintas: $A(x) = x + x^2/2$ crece continuamente y $B(y) = (1 + y)(2 - y)$ sube y baja, pero las áreas bajo ellas coinciden. Una suma finita de columnas da el mismo total si se suma por filas o por columnas; las dos integrales iteradas son los límites de esas dos formas de sumar al refinar la malla. Si f es continua en una región cerrada y acotada cuya frontera consta de un número finito de curvas suaves, ambos órdenes dan la integral doble. Es el teorema de Fubini, y todos los ejemplos de esta página cumplen esas condiciones.

A veces solo un orden permite calcular con funciones elementales. Sobre el triángulo $0 \le x \le y \le 1$, fijar x deja $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$, y $e^{y^2}$ no tiene primitiva elemental. Al fijar y, cada corte es un rectángulo de anchura y y altura $e^{y^2}$, y el volumen es $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$.