Integrale doppio

Su una griglia n × n sopra una regione R, ogni cella il cui centro appartiene a R sostiene una colonna alta quanto il valore di f in quel centro. Il volume totale delle colonne, $\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$, è una somma di Riemann. Raffinando la griglia, le somme tendono a un numero: l’integrale doppio $\iint_R f\,dA$. Dove f è negativa, una colonna pende sotto il suolo e conta in negativo; l’integrale doppio è dunque un volume con segno.

Le sezioni trasformano l’integrale doppio in due integrali semplici. Per le sezioni a x fissato, il piano blu è x = s. La sezione è il pannello blu, la cui area con segno $A(s)$ è un integrale semplice rispetto a y. Il grafico sotto la vista traccia A in funzione della posizione del piano. Con l’opzione Colonne disattivata, l’area con segno colorata in giallo fino al piano è il volume spazzato finora, e l’area con segno sull’intero intervallo è l’integrale doppio. Questo è l’integrale iterato. Quando ogni sezione di R è un unico intervallo, si scrive

Gli estremi interni sono i punti in cui il piano entra ed esce da R, segnati in blu sul suolo. Sul triangolo $0 \le y \le x \le 2$, la sezione a x fissato va da y = 0 a y = x, quindi l’integrale interno è $\int_0^x$: l’estremo superiore dipende da x. Sulla corona circolare $1 \le x^2 + y^2 \le 4$, un piano con $|x| < 1$ attraversa il foro, la sezione si divide in due parti e l’integrale interno diventa la somma di due integrali, uno per parte.

Cambiare ordine significa rileggere gli estremi dalla regione, non scambiarli. Sullo stesso triangolo, una sezione a y fissato va da x = y a x = 2, quindi

L’opzione Entrambi gli ordini mostra affiancate le due aree di sezione. Sono funzioni diverse: $A(x) = x + x^2/2$ cresce sempre, mentre $B(y) = (1 + y)(2 - y)$ cresce e poi decresce, eppure le aree sottostanti coincidono. Una somma finita di colonne dà lo stesso totale sommando per righe o per colonne; i due integrali iterati sono i limiti di questi due modi di sommare quando la griglia si affina. Se f è continua su una regione chiusa e limitata il cui bordo è formato da un numero finito di curve lisce, entrambi gli ordini danno l’integrale doppio. È il teorema di Fubini, e tutti gli esempi della pagina ne soddisfano le condizioni.

A volte solo un ordine permette di usare funzioni elementari. Sul triangolo $0 \le x \le y \le 1$, fissare x lascia $\int_x^1 e^{y^2}\,dy$, e $e^{y^2}$ non ha una primitiva elementare. Fissando invece y, ogni sezione è un rettangolo largo y e alto $e^{y^2}$, e il volume è $\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$.