二重積分

在區域R上鋪n × n網格，中心落在R內的每格都立起一根小柱，高度是f在中心的值。小柱的總體積$\sum f(x_i, y_j)\,\Delta x\,\Delta y$就是黎曼和。網格越細，這些和越接近同一個數，也就是二重積分$\iint_R f\,dA$。f為負時，小柱懸在地面以下，算作負值，因此二重積分是有號體積。

切片將二重積分化為兩次普通積分。沿x切片時，藍色切刀是平面x = s，切出藍色薄片，其有號面積$A(s)$是對y的普通積分。下方圖形畫出A隨切刀位置的變化。關閉小柱時，切刀以前塗黃的有號面積，就是目前掃過的體積；整個範圍的有號面積則是二重積分。這就是累次積分。當R的每個切片都是單一區間時，可寫成：

內層上下限是切刀進出R的位置，也就是地面上的藍點。在三角形$0 \le y \le x \le 2$中，x處的切片從y = 0延伸到y = x，因此內層積分為$\int_0^x$，上限取決於x。在圓環$1 \le x^2 + y^2 \le 4$中，滿足$|x| < 1$的切刀會穿過孔洞，切片分成兩塊，內層積分也變成兩個積分相加，每塊各一個。

更換次序時，要重新從區域讀出上下限，不能直接互換。同一個三角形中，固定y的切片從x = y延伸到x = 2，因此：

兩種次序並列顯示兩種切片面積。它們是不同的函數：$A(x) = x + x^2/2$持續增加，$B(y) = (1 + y)(2 - y)$則先增後減，但圖形下的面積相同。有限根小柱逐橫列相加或逐直行相加，總量都一樣；網格越細，這兩種加法就分別趨近兩個累次積分。若f在閉且有界的區域上連續，區域邊界由有限條光滑曲線組成，兩種次序都得到二重積分。這就是富比尼定理，本頁每個預設例子都滿足它的條件。

有時只有一種次序能用初等函數計算。在三角形$0 \le x \le y \le 1$上，固定x會留下$\int_x^1 e^{y^2}\,dy$，而$e^{y^2}$沒有初等反導函數。改為固定y，每片都是寬y、高$e^{y^2}$的長方形，體積為$\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = (e - 1)/2 \approx 0.859$。