等高線圖

函數$f(x, y)$的等位曲線，也稱等高線，是$f$取同一個值$c$的所有點所成的集合。在曲面$z = f(x, y)$上，這些就是高度為$c$的點。等高線圖把高度間隔相等的等位曲線畫在地面上，就像地形圖描繪山丘一樣。

曲面像玻璃一樣畫在正方形地圖上方，三軸採用相同的比例尺，下方地面則是等高線圖。把水升到高度$c$，所有低於$c$的點都會在水下。曲面和地圖上以藍色畫出的水岸，就是等位曲線$f = c$，所以等高線圖是一層層水岸的疊合。這裡的水是高度門檻，不是洪水流入的模擬：即使凹坑離其他水域很遠，只要底部低於$c$，它就已經是一座湖。

隨著$c$升高，水岸大多只會移動或改變形狀。在地圖內部，連接方式只會在臨界點的高度改變，這些點滿足$\nabla f = 0$；在圓錐尖點的高度，水岸的連接方式也會改變，但那裡根本沒有梯度。略高於凹坑底部時，湖泊出現。在山口，也就是鞍點，兩道水岸相接，或一座島分成兩座。在山頂，島嶼縮成一點後消失。視圖旁的尺規標出了這些高度。

地圖只是更大地形的一扇視窗，所以本頁只計算完全位於地圖內的湖泊和島嶼。連到邊界的水算外海，連到邊界的陸地算大陸。因此，水岸碰到邊界時，數量也可能改變。尺規用不帶符號的虛線刻度標出這些高度。

經過鞍點的等位曲線會在該點自交。對馬鞍曲面$f = \tfrac14(x^2 - y^2)$，等位曲線$f = 0$就是兩條直線$y = \pm x$。水位低於0時，水分處兩條谷地；等於0時，兩道水岸在鞍點相接；高於0時，水域連成一片。不同高度的等高線永不相交，因為一個點只有一個高度。

相鄰等高線的高度差為$\Delta c$，所以線密的地方，地面在短距離內便上升$\Delta c$。當$\nabla f \ne 0$且相鄰等高線很接近時，沿垂直於等高線的方向量得的間距約為

剖面視窗以兩軸相同的比例尺，畫出A到B沿途的高度；路徑每穿過一條等高線便標一個刻度，最陡的點則標成黃色。在路徑持續上升或下降的路段，刻度越密，剖面就越陡。

只看線條，無法知道哪一邊較高。對$f = 2x\,e^{-(x^2 + y^2)/2}$，$(1, 0)$與$(-1, 0)$周圍的環線形狀相同，卻一個是山丘、一個是凹坑。地圖需要標上高度，或用水之類的線索加以辨別。