二階偏導數判別法

在函數$f(x, y)$的臨界點P，兩個一階偏導數都為0，切平面是水平的。二階偏導數判別法從二階導數$A = f_{xx}$、$B = f_{xy}$與$C = f_{yy}$，透過判別式$D = AC - B^2$判斷這是哪一種點；判別式就是海森矩陣的行列式。若f在P附近有連續的二階偏導數，則：

本頁用通過臨界點P、沿任意方向θ的垂直平面切開曲面。曲面可以是由你設定二階導數的二次型，也可以是其他幾個函數。截線在P處有多彎，就是該方向的二階導數$f_{uu}$。P周圍的方向盤，以實色填滿截線向上彎的方向，以斜線標出向下彎的方向。判別法是同時針對所有這些截線的敘述。

θ轉過半圈，彎曲便繞著中線$m = \tfrac12(A + C)$、以振幅s走完一個完整波形，畫在小圖中。最高值$\lambda_1 = m + s$與最低值$\lambda_2 = m - s$出現在互相垂直的兩個方向，也是海森矩陣的特徵值。相乘展開可得$D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$。所以$D > 0$表示波形始終不到0，所有截線都往同一邊彎，P就是極小點或極大點。這時看任一條截線便能分辨，而$f_{xx}$只是沿x方向的彎曲。$D < 0$表示波形穿過0：有些截線上彎、有些下彎，因此P是鞍點。

這就是為什麼只有$f_{xx} > 0$與$f_{yy} > 0$還不夠。交叉項$f_{xy}$使波峰的方向偏離座標軸，也在不移動中線的情況下拉高波形。一旦$|f_{xy}|$夠大，即使沿兩條座標軸的截線都上彎，仍會有斜向截線下彎，碗就變成了鞍。

當$D < 0$，彎曲恰好在兩個方向為0，對應波形穿過0的位置；方向盤把它們畫成穿越圓盤的直線。它們是通過P的等位曲線在該點的切線，而這條等位曲線在P自交。這就是等高線圖上鞍點形成的X。

當$D = 0$，波形接觸0或與零線重合，某些方向的二階項便消失，判別法無法判斷。$x^2 - y^4$與$x^2 + y^4$在原點有相同的二階導數，但沿y方向，前者像$-t^4$一樣下降，後者像$t^4$一樣上升，所以一個是鞍點，另一個是極小點。在猴鞍面$x^3 - 3xy^2$上，原點的每個二階導數都是0，曲面卻向三個方向上升、向三個方向下降。「判別法無法判斷」不代表「沒有極值」。

臨界點的一階項消失，所以在P附近，函數接近它的二階泰勒多項式，也就是f(P)加上一個二次型。二次近似會把它畫在圓盤上。當$D > 0$，只要夠靠近P，每個方向的二次項都比餘項更占優勢，因此P和近似曲面一樣，是極小點或極大點。當$D < 0$，在上彎或下彎的方向，二次項仍占優勢，所以f沿某些方向上升、沿另一些方向下降：這就是鞍點。