Teste das segundas derivadas parciais

Num ponto crítico P de uma função $f(x, y)$, ambas as primeiras derivadas parciais são zero e o plano tangente é horizontal. O teste das segundas derivadas parciais determina o tipo de ponto a partir das segundas derivadas $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$ e $C = f_{yy}$, através do discriminante $D = AC - B^2$, o determinante da matriz hessiana. Se f tem segundas derivadas parciais contínuas perto de P:

A página corta uma superfície com um plano vertical que passa por um ponto crítico P em qualquer direção θ. A superfície é uma forma quadrática cujas segundas derivadas podes definir, ou uma de várias outras funções. Quanto o corte se curva em P é medido pela segunda derivada nessa direção, $f_{uu}$. A rosa de direções em torno de P está preenchida onde os cortes se curvam para cima e hachurada onde se curvam para baixo. O teste diz respeito a todos estes cortes ao mesmo tempo.

À medida que θ dá meia volta, a segunda derivada descreve uma onda completa em torno da sua linha média $m = \tfrac12(A + C)$, com amplitude s, desenhada no gráfico pequeno. Os seus valores máximo e mínimo, $\lambda_1 = m + s$ e $\lambda_2 = m - s$, ocorrem em duas direções perpendiculares e são os valores próprios da Hessiana. Multiplicá-los dá $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$. Assim, $D > 0$ significa que a onda nunca chega ao zero. Todos os cortes se curvam no mesmo sentido e P é um mínimo ou um máximo. Qualquer corte permite então distinguir qual, e $f_{xx}$ é simplesmente a segunda derivada segundo x. $D < 0$ significa que a onda atravessa o zero: alguns cortes curvam-se para cima e outros para baixo, e P é um ponto de sela.

É por isso que $f_{xx} > 0$ e $f_{yy} > 0$ não bastam. O termo misto $f_{xy}$ afasta os picos da onda dos eixos e aumenta a amplitude sem deslocar a linha média. Quando $|f_{xy}|$ é suficientemente grande, um corte diagonal curva-se para baixo embora os dois cortes segundo os eixos se curvem para cima: a taça tornou-se uma sela.

Quando $D < 0$, a segunda derivada é zero em exatamente duas direções, onde a onda atravessa o zero, e a rosa de direções desenha-as como retas que atravessam o disco. São as tangentes à curva de nível que passa por P e aí se cruza consigo própria. É este o X que um ponto de sela forma num mapa de curvas de nível.

Quando $D = 0$, a onda toca no zero ou coincide com ele, pelo que o termo de segunda ordem se anula nalguma direção e o teste é inconclusivo. $x^2 - y^4$ e $x^2 + y^4$ têm as mesmas segundas derivadas na origem, mas segundo y a primeira função desce como $-t^4$ e a segunda sobe como $t^4$: uma tem um ponto de sela e a outra um mínimo. Na sela de macaco $x^3 - 3xy^2$, todas as segundas derivadas são zero na origem e a superfície sobe em três direções e desce noutras três. «O teste é inconclusivo» não significa «não há extremo».

Num ponto crítico, os termos de primeira ordem anulam-se, pelo que, perto de P, a função está próxima do seu polinómio de Taylor de segunda ordem, que é f(P) mais uma forma quadrática. A opção Aproximação quadrática desenha-o sobre o disco. Quando $D > 0$, suficientemente perto de P, o termo quadrático domina o resto em todas as direções; por isso, P é um mínimo ou um máximo, como na aproximação. Quando $D < 0$, continua a dominar nas direções em que a aproximação se curva para cima ou para baixo, pelo que f sobe em algumas e desce noutras: uma sela.