Criterio delle derivate seconde parziali

In un punto critico P di una funzione $f(x, y)$, entrambe le derivate parziali prime sono zero e il piano tangente è orizzontale. Il criterio delle derivate seconde parziali determina il tipo di punto dalle derivate seconde $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$ e $C = f_{yy}$, tramite il discriminante $D = AC - B^2$, il determinante della matrice hessiana. Se f ha derivate seconde parziali continue vicino a P:

La pagina taglia una superficie con un piano verticale passante per un punto critico P in una direzione θ qualsiasi. La superficie è una forma quadratica di cui imposti le derivate seconde, oppure una tra diverse altre funzioni. Quanto la sezione si incurva in P è misurato dalla derivata seconda lungo quella direzione, $f_{uu}$. La rosa delle direzioni intorno a P è piena dove le sezioni si incurvano verso l’alto e tratteggiata dove si incurvano verso il basso. Il criterio riguarda tutte queste sezioni insieme.

Mentre θ compie mezzo giro, la derivata seconda descrive un’onda completa intorno alla linea mediana $m = \tfrac12(A + C)$, con ampiezza s, disegnata nel piccolo grafico. I suoi valori massimo e minimo, $\lambda_1 = m + s$ e $\lambda_2 = m - s$, si hanno in due direzioni perpendicolari e sono gli autovalori della Hessiana. Moltiplicandoli si ottiene $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$. Quindi $D > 0$ significa che l’onda non raggiunge mai lo zero. Tutte le sezioni si incurvano nello stesso verso e P è un minimo o un massimo. Una qualsiasi sezione permette allora di distinguere quale, e $f_{xx}$ è semplicemente la derivata seconda lungo x. $D < 0$ significa che l’onda attraversa lo zero: alcune sezioni si incurvano verso l’alto e altre verso il basso, e P è un punto di sella.

Ecco perché $f_{xx} > 0$ e $f_{yy} > 0$ non bastano. Il termine misto $f_{xy}$ allontana i picchi dell’onda dagli assi e ne aumenta l’ampiezza senza spostare la linea mediana. Quando $|f_{xy}|$ è abbastanza grande, una sezione diagonale si incurva verso il basso anche se entrambe le sezioni lungo gli assi si incurvano verso l’alto: la ciotola è diventata una sella.

Quando $D < 0$, la derivata seconda è zero in esattamente due direzioni, dove l’onda attraversa lo zero, e la rosa delle direzioni le disegna come rette attraverso il disco. Sono le tangenti alla curva di livello passante per P, che si interseca con sé stessa in quel punto. È la X che un punto di sella forma su una mappa delle curve di livello.

Quando $D = 0$, l’onda tocca lo zero o vi giace, quindi in qualche direzione il termine del secondo ordine si annulla e il criterio non permette di concludere. $x^2 - y^4$ e $x^2 + y^4$ hanno le stesse derivate seconde nell’origine, ma lungo y la prima funzione scende come $-t^4$ e la seconda sale come $t^4$: una ha dunque un punto di sella e l’altra un minimo. Nella sella di scimmia $x^3 - 3xy^2$, tutte le derivate seconde sono zero nell’origine e la superficie sale in tre direzioni e scende in altre tre. «Il criterio non permette di concludere» non significa «nessun estremo».

In un punto critico, i termini del primo ordine si annullano, quindi vicino a P la funzione è prossima al suo polinomio di Taylor del secondo ordine, pari a f(P) più una forma quadratica. L’opzione Approssimazione quadratica lo disegna sopra il disco. Quando $D > 0$, abbastanza vicino a P il termine quadratico domina il resto in ogni direzione, perciò P è un minimo o un massimo come nell’approssimazione. Quando $D < 0$, lo domina ancora nelle direzioni in cui l’approssimazione si incurva verso l’alto o verso il basso: f sale in alcune direzioni e scende in altre, formando una sella.