Критерий вторых частных производных

В критической точке P функции $f(x, y)$ обе первые частные производные равны нулю, а касательная плоскость горизонтальна. Критерий вторых частных производных определяет тип точки по вторым производным $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$ и $C = f_{yy}$ с помощью дискриминанта $D = AC - B^2$ — определителя матрицы Гессе. Если вторые частные производные f непрерывны в окрестности P:

На странице поверхность разрезается вертикальной плоскостью через критическую точку P в любом направлении θ. Поверхность задаётся квадратичной формой, вторые производные которой вы выбираете, или одной из других функций. Мера изгиба сечения в P — это вторая производная в данном направлении, $f_{uu}$. На круговой шкале вокруг P направления изгиба вверх закрашены, а направления изгиба вниз заштрихованы. Критерий описывает все эти сечения сразу.

Пока θ поворачивается на пол-оборота, изгиб совершает одно полное колебание вокруг средней линии $m = \tfrac12(A + C)$ с амплитудой s; оно показано на малом графике. Наибольшее и наименьшее значения, $\lambda_1 = m + s$ и $\lambda_2 = m - s$, достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях и являются собственными значениями матрицы Гессе. Перемножение даёт $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$. Поэтому $D > 0$ означает, что волна не достигает нуля. Все сечения изгибаются в одну сторону, а P — минимум или максимум. Тогда любое сечение позволяет понять, что именно; $f_{xx}$ — просто изгиб вдоль x. $D < 0$ означает, что волна пересекает нуль: одни сечения изгибаются вверх, другие вниз, а P — седловая точка.

Вот почему $f_{xx} > 0$ и $f_{yy} > 0$ недостаточно. Смешанный член $f_{xy}$ поворачивает пики волны относительно осей и увеличивает её размах, не смещая средней линии. Когда $|f_{xy}|$ становится достаточно большим, диагональное сечение изгибается вниз, хотя оба осевых сечения изгибаются вверх: чаша превратилась в седло.

При $D < 0$ изгиб равен нулю ровно в двух направлениях, где волна пересекает нуль; круговая шкала показывает их прямыми через круг. Это касательные к линии уровня через P, которая там пересекает саму себя. Именно такой X седловая точка создаёт на карте линий уровня.

При $D = 0$ волна касается нуля или лежит на нулевой линии, так что в некотором направлении член второго порядка исчезает и критерий не даёт ответа. $x^2 - y^4$ и $x^2 + y^4$ имеют одинаковые вторые производные в начале координат, но вдоль y первая функция убывает как $-t^4$, а вторая возрастает как $t^4$; поэтому у одной седло, у другой минимум. У обезьяньего седла $x^3 - 3xy^2$ все вторые производные в начале координат нулевые, а поверхность поднимается в трёх направлениях и опускается в трёх. «Критерий не даёт ответа» не означает «экстремума нет».

В критической точке члены первого порядка исчезают, поэтому вблизи P функция близка к своему многочлену Тейлора второго порядка: f(P) плюс квадратичная форма. Режим Квадратичное приближение рисует его над кругом. При $D > 0$ достаточно близко к P квадратичный член преобладает над остатком во всех направлениях, поэтому P — минимум или максимум, как и у приближения. При $D < 0$ он по-прежнему преобладает в направлениях изгиба вверх и вниз, поэтому вдоль одних направлений f возрастает, а вдоль других убывает: это седло.