Test mit zweiten partiellen Ableitungen

An einem kritischen Punkt P einer Funktion $f(x, y)$ sind beide ersten partiellen Ableitungen null und die Tangentialebene waagerecht. Der Test mit zweiten partiellen Ableitungen bestimmt die Art des Punkts anhand der zweiten Ableitungen $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$ und $C = f_{yy}$ über die Diskriminante $D = AC - B^2$, die Determinante der Hesse-Matrix. Wenn f in der Nähe von P stetige zweite partielle Ableitungen hat, gilt:

Die Seite schneidet eine Fläche mit einer senkrechten Ebene durch einen kritischen Punkt P in einer beliebigen Richtung θ. Die Fläche ist entweder eine quadratische Form, deren zweite Ableitungen du festlegst, oder eine von mehreren anderen Funktionen. Wie stark sich der Schnitt bei P biegt, beschreibt die zweite Ableitung in dieser Richtung, $f_{uu}$. Die Richtungsscheibe um P ist dort ausgefüllt, wo die Schnitte nach oben biegen, und schraffiert, wo sie nach unten biegen. Der Test macht eine Aussage über alle diese Schnitte zugleich.

Wenn θ eine halbe Umdrehung durchläuft, beschreibt die Biegung eine vollständige Welle um die Mittellinie $m = \tfrac12(A + C)$ mit Amplitude s, zu sehen im kleinen Diagramm. Ihr größter und kleinster Wert, $\lambda_1 = m + s$ und $\lambda_2 = m - s$, treten in zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen auf und sind die Eigenwerte der Hesse-Matrix. Ausmultiplizieren ergibt $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$. Also bedeutet $D > 0$, dass die Welle null nie erreicht. Alle Schnitte biegen sich in dieselbe Richtung, und P ist ein Minimum oder Maximum. Welches von beiden, verrät dann bereits ein einziger Schnitt; $f_{xx}$ ist einfach die Biegung entlang x. $D < 0$ bedeutet, dass die Welle null kreuzt: Manche Schnitte biegen nach oben, andere nach unten, und P ist ein Sattelpunkt.

Deshalb reichen $f_{xx} > 0$ und $f_{yy} > 0$ nicht aus. Der gemischte Term $f_{xy}$ dreht die Wellenberge von den Achsen weg und vergrößert die Welle, ohne ihre Mittellinie zu verschieben. Sobald $|f_{xy}|$ groß genug ist, biegt ein diagonaler Schnitt nach unten, obwohl beide Achsenschnitte nach oben biegen: Aus der Schüssel ist ein Sattel geworden.

Für $D < 0$ ist die Biegung in genau zwei Richtungen null, dort, wo die Welle null kreuzt. Die Richtungsscheibe zeichnet diese als Geraden durch die Scheibe. Es sind die Tangenten der Niveaulinie durch P, die sich dort selbst kreuzt. Das ist das X, das ein Sattelpunkt auf einer Höhenlinienkarte bildet.

Für $D = 0$ berührt die Welle null oder liegt auf der Nulllinie. In mindestens einer Richtung verschwindet daher der Term zweiter Ordnung, und der Test liefert keine Entscheidung. $x^2 - y^4$ und $x^2 + y^4$ haben am Ursprung dieselben zweiten Ableitungen. Doch entlang y fällt die erste Funktion wie $-t^4$, während die zweite wie $t^4$ steigt: Die eine hat einen Sattelpunkt, die andere ein Minimum. Beim Affensattel $x^3 - 3xy^2$ sind am Ursprung alle zweiten Ableitungen null; die Fläche steigt in drei Richtungen und fällt in drei Richtungen. „Der Test liefert keine Entscheidung“ bedeutet nicht „kein Extremum“.

An einem kritischen Punkt verschwinden die Terme erster Ordnung. In der Nähe von P liegt die Funktion daher nahe bei ihrem Taylorpolynom zweiter Ordnung, also f(P) plus einer quadratischen Form. Die Option Quadratische Näherung zeichnet es über der Kreisscheibe. Für $D > 0$ überwiegt nahe genug bei P der quadratische Term in jeder Richtung den Rest. P ist daher wie in der Näherung ein Minimum oder Maximum. Für $D < 0$ überwiegt er noch immer in den Richtungen mit Biegung nach oben oder unten. Daher steigt f in manchen Richtungen und fällt in anderen: ein Sattelpunkt.