Uji turunan parsial kedua

Pada titik kritis P dari fungsi $f(x, y)$, kedua turunan parsial pertama bernilai nol dan bidang singgungnya horizontal. Uji turunan parsial kedua menentukan jenis titik dari turunan kedua $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$, dan $C = f_{yy}$, melalui diskriminan $D = AC - B^2$, yaitu determinan matriks Hessian. Jika f memiliki turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar P:

Halaman ini memotong permukaan dengan irisan vertikal melalui titik kritis P dalam sembarang arah θ. Permukaannya berupa bentuk kuadratik yang turunan keduanya Anda tentukan, atau salah satu dari beberapa fungsi lain. Besarnya lengkungan irisan di P adalah turunan kedua sepanjang arah tersebut, $f_{uu}$. Penunjuk arah di sekitar P diisi pada arah yang irisannya melengkung ke atas, dan diarsir pada arah yang melengkung ke bawah. Uji ini menyatakan sesuatu tentang semua irisan tersebut sekaligus.

Saat θ berputar setengah putaran, lengkungan membentuk satu gelombang penuh di sekitar garis tengah $m = \tfrac12(A + C)$ dengan amplitudo s, yang digambar pada grafik kecil. Nilai tertinggi dan terendahnya, $\lambda_1 = m + s$ dan $\lambda_2 = m - s$, terjadi pada dua arah yang saling tegak lurus dan merupakan nilai eigen Hessian. Hasil kalinya memberikan $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$. Jadi $D > 0$ berarti gelombang tidak pernah mencapai nol. Semua irisan melengkung ke arah yang sama, dan P adalah minimum atau maksimum. Satu irisan mana pun lalu cukup untuk menentukan yang mana; $f_{xx}$ hanyalah lengkungan sepanjang x. $D < 0$ berarti gelombang melintasi nol: beberapa irisan melengkung ke atas dan yang lain ke bawah, sehingga P adalah titik pelana.

Itulah sebabnya $f_{xx} > 0$ dan $f_{yy} > 0$ saja tidak cukup. Suku silang $f_{xy}$ memutar puncak gelombang menjauhi sumbu dan memperbesar gelombang tanpa menggeser garis tengahnya. Ketika $|f_{xy}|$ cukup besar, irisan diagonal melengkung ke bawah meskipun kedua irisan sepanjang sumbu melengkung ke atas, dan mangkuk telah berubah menjadi pelana.

Ketika $D < 0$, lengkungan bernilai nol dalam tepat dua arah tempat gelombang melintasi nol; penunjuk arah menggambarkannya sebagai garis yang melintasi cakram. Keduanya adalah garis singgung kurva ketinggian yang melalui P dan berpotongan dengan dirinya sendiri di sana. Inilah bentuk X yang dibuat titik pelana pada peta kontur.

Ketika $D = 0$, gelombang menyentuh nol atau berimpit dengannya, sehingga dalam suatu arah suku orde kedua hilang dan uji tidak dapat menentukan. $x^2 - y^4$ dan $x^2 + y^4$ memiliki turunan kedua yang sama di titik asal, tetapi sepanjang y yang pertama turun seperti $-t^4$ dan yang kedua naik seperti $t^4$, sehingga yang satu pelana dan yang lain minimum. Pada pelana monyet $x^3 - 3xy^2$, semua turunan kedua di titik asal nol, sementara permukaan naik dalam tiga arah dan turun dalam tiga arah. “Uji tidak dapat menentukan” bukan berarti “tidak ada ekstremum”.

Pada titik kritis, suku orde pertama hilang, sehingga di dekat P fungsi mendekati polinom Taylor orde keduanya, yaitu f(P) ditambah sebuah bentuk kuadratik. Pendekatan kuadratik menggambarkannya di atas cakram. Ketika $D > 0$, cukup dekat dengan P suku kuadratik mendominasi suku sisa dalam setiap arah, sehingga P adalah minimum atau maksimum seperti pada pendekatannya. Ketika $D < 0$, suku kuadratik tetap mendominasi dalam arah yang melengkung ke atas atau ke bawah; jadi f naik dalam beberapa arah dan turun dalam arah lain: sebuah pelana.