اختبار المشتقات الجزئية الثانية

عند نقطة حرجة P للدالة $f(x, y)$، تساوي المشتقتان الجزئيتان الأوليان صفرًا ويكون المستوى المماس أفقيًا. يحدد اختبار المشتقات الجزئية الثانية نوع النقطة من المشتقات الثانية $A = f_{xx}$ و$B = f_{xy}$ و$C = f_{yy}$ بواسطة المميّز $D = AC - B^2$، وهو محدّد مصفوفة هسيان. إذا كانت المشتقات الجزئية الثانية للدالة f متصلة قرب P:

تقطع الصفحة سطحًا بمقطع رأسي يمر بنقطة حرجة P في أي اتجاه ⁦θ⁩. السطح إما صيغة تربيعية تحدد أنت مشتقاتها الثانية، وإما إحدى الدوال الأخرى. مقدار انحناء المقطع عند P هو المشتقة الثانية في ذلك الاتجاه، $f_{uu}$. يلوّن مقياس الاتجاهات حول P الاتجاهات التي تنحني فيها المقاطع إلى أعلى، ويهشّر الاتجاهات التي تنحني فيها إلى أسفل. والاختبار حكم على جميع هذه المقاطع معًا.

حين تدور ⁦θ⁩ نصف دورة، يرسم الانحناء موجة كاملة حول خط منتصفها $m = \tfrac12(A + C)$ بسعة ⁦s⁩، كما يظهر في الرسم الصغير. تتحقق أكبر قيمة وأصغر قيمة، $\lambda_1 = m + s$ و$\lambda_2 = m - s$، في اتجاهين متعامدين، وهما القيمتان الذاتيتان لمصفوفة هسيان. وبضربهما نحصل على $D = m^2 - s^2 = \lambda_1\lambda_2$. إذن تعني $D > 0$ أن الموجة لا تبلغ الصفر أبدًا. تنحني جميع المقاطع في الاتجاه نفسه، وتكون P نقطة قيمة صغرى أو عظمى. وعندئذ يكفي أي مقطع لتحديد أيهما، وما $f_{xx}$ إلا الانحناء في اتجاه ⁦x⁩. أما $D < 0$ فتعني أن الموجة تعبر الصفر: تنحني بعض المقاطع إلى أعلى وبعضها إلى أسفل، وتكون P نقطة سرج.

لهذا لا يكفي الشرطان $f_{xx} > 0$ و$f_{yy} > 0$. يزيح الحد المختلط $f_{xy}$ اتجاه قمتي الموجة بعيدًا عن المحورين، ويزيد سعتها دون تحريك خط منتصفها. وحين يصبح $|f_{xy}|$ كبيرًا بما يكفي، ينحني مقطع قطري إلى أسفل رغم انحناء مقطعي المحورين إلى أعلى، فيتحول الوعاء إلى سرج.

عندما $D < 0$، يساوي الانحناء صفرًا في اتجاهين بالضبط، حيث تعبر الموجة الصفر؛ ويرسمهما مقياس الاتجاهات خطين عبر القرص. وهما مماسا خط التساوي المار بالنقطة P، والذي يتقاطع مع نفسه عندها. هذا هو الشكل ⁦X⁩ الذي تصنعه نقطة السرج على خريطة خطوط التساوي.

عندما $D = 0$، تلامس الموجة الصفر أو تنطبق عليه، فينعدم حد الرتبة الثانية في بعض الاتجاهات ولا يستطيع الاختبار الحسم. للدالتين $x^2 - y^4$ و$x^2 + y^4$ المشتقات الثانية نفسها عند الأصل، لكن الأولى تنخفض في اتجاه ⁦y⁩ وفق $-t^4$ والثانية ترتفع وفق $t^4$؛ لذا إحداهما سرج والأخرى قيمة صغرى. وعلى سرج القرد $x^3 - 3xy^2$ تساوي كل مشتقة ثانية صفرًا عند الأصل، ويرتفع السطح في ثلاثة اتجاهات وينخفض في ثلاثة. عبارة «الاختبار لا يحسم» لا تعني «لا توجد قيمة قصوى».

عند نقطة حرجة تنعدم حدود الرتبة الأولى، لذا تقترب الدالة قرب P من كثيرة حدود تايلور من الرتبة الثانية، وهي ⁦f(P)⁩ مضافًا إليها صيغة تربيعية. يرسم خيار التقريب التربيعي هذه الكثيرة فوق القرص. عندما $D > 0$، وبالقرب الكافي من P، يتغلب الحد التربيعي على الباقي في كل اتجاه، فتكون P نقطة قيمة صغرى أو عظمى كما في التقريب. وعندما $D < 0$، يظل يتغلب على الباقي في اتجاهات الانحناء إلى أعلى أو إلى أسفل، فترتفع ⁦f⁩ في بعض الاتجاهات وتنخفض في غيرها: إنها نقطة سرج.